概率论-条件概率-全概率公式-贝叶斯公式

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1、一、条件概率二、全概率公式与贝叶斯公式第四节条件概率、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率甲乙两台车床加工同一种机械零件，质量表如下：正品数次品数合计甲车床35540乙车床501060总计8515100从这100个零件中任取一个，求下列事件的概率：引例1.问题的引入取出的一个为正品；取出的一个为甲车床加工的零件；取出的一个为甲车床加工的正品；已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为ABABC1001585总计601050乙车床40535甲车床合计次品数正品数解(1)85..010085)(==AP(2)40..01

2、0040)(==BP35(3)10035..0)(==ABP正品.已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为正品.(4)附加条件BA此时，样本空间已不再是原来包含100个样本点的，而缩减为只包含40个样本点的B=B.BA这是巧合吗？不是.注为样本空间.以BB=W设A，B是两个事件，且P(B)>0,则称为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率.注①样本空间缩减法；②用定义.2.定义1.8(条件概率的定义)如：对于古典概型，ABAB女孩的概率(设男孩与女孩是等可能的).解样本点总数：23,例1(1)求在有3个小孩

3、的家庭中，至少有一个123男女(2)在有3个小孩的家庭中，已知至少有1个女孩，求该家庭至少有1个男孩的概率.解证证3.条件概率的性质(2)规范性：(1)非负性:证(3)可列可加性：证(5)逆事件的条件概率：(4)加法公式：意义：两事件积的概率等于其中的某一事件的概率乘以另一事件在前一事件已发生的条件下的条件概率.推广：4.乘法公式则一般地，设个事件，若是，，，nAAAnL21例2摸球试验(卜里耶模型)把原球放回，并加进与抽出球同色的球c只，再取第二次，这样下去共取了n次球，问前n1次取到黑球，后n2=n-n1次取到

4、红球的概率是多少？解箱中有b只黑球，r只红球，随机取出一只，此模型被卜里耶用来作为描述传染病的数学模型.因此二、全概率公式与贝叶斯公式1.样本空间的划分全概率公式定理2.全概率公式则图示化整为零各个击破证全概率公式中的条件：可换为注全概率公式的主要用处在于:它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.直观意义：某事件B的发生由各种可能的“原因”Ai(i=1,2,,n)引起，而Ai与Aj(ij)互斥，则B发生的概率与P(AiB)(i=1,2,

5、,n)有关，且等于它们的总和：3.全概率公式的意义个黑球;乙箱中装有一个白球,两个黑球.现由甲箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球,问取到白球的概率是多少?解以A1表示事件“从甲箱中取出一个白球”,A2表示“从甲箱中取出一个黑球”这一事件,以B表示“从乙箱中取出一个白球”这一事件,则:且例3甲、乙两个箱子,甲箱中装有两个白球,一因而子,1.5%的三等种子,1.0%的四等种子.用一等,二等,三等,四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率为0.5,0.15,0.1,0.05.求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率

6、.解以Ai(i=1,2,3,4)分别记任选一颗种子是i等用B表示在这批种子中任选一颗且这颗种子所结则Ai(i=1,2,3,4)是一个划分.例4播种用的一等小麦种子中混和2.0%的二等种(i=1,2,3,4)这一事件,的穗含50颗以上麦粒这一事件.则由全概率公式称此为贝叶斯公式.贝叶斯资料定理4.贝叶斯公式[证毕]证解例5示“被检验者患有肝癌”这一事件，以A表示“判断被检验者患有肝癌”这一事件.假设这一检验法相应的概率为检验法诊断为患有肝癌，求此人真正患有肝癌的又设在人群中.现在若有一人被此假定用血清甲胎蛋白法诊断肝

7、癌，以C表由贝叶斯公式得所求概率为即平均10000个具有阳性反应的人中大约只有38人患有癌症.上题中概率0.0004是由以往的数据分析得到的,叫而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.0038先验概率与后验概率做先验概率.叫做后验概率.乘船,乘汽车,乘飞机来的概率分别为1/5,1/10,2/5.若他乘火车来,迟到的概率是1/4;如果乘船,乘汽车来,迟到的概率是1/3,1/12;如果乘飞机便不会迟到,即迟到的概率为0.在结果是迟到的情形解表示乘火车、乘船、乘汽车,以B表示迟到这一事件,设A1,A2,A3,A4分别由B

8、ayes公式,有例6有朋友自远方来访,乘火车来的概率3/10,下,求他是乘火车的概率.乘飞机来的事件.全概率公式贝叶斯公式乘法定理内容小结1.条件概率2.条件概率P(A

9、B)与积事件P(AB)概率的区别表示在样本空间中，计算发生的)(ABPΩAB概率，而表示在缩小的样本空间中，计)(BAPBΩ算发生的概率.用古典概率公式，则A条件概率也是概率,故具有概率的性