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1、2014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式条件概率、全概率公式与贝叶斯公式一、背景一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的.[例1]设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者.个色盲患者中女性占个.如果={从中任选一个是色盲},={从中任选一个是女性},此时,.如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换
2、一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为)自然是.[例2]将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率.这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为对于例1,已知容易验证在发生的条件下,发生的概率对于例2,已知容易验证发生的条件下,发生的概率http://www.360doc.com/co
3、ntent/14/1126/15/20635596_428238580.shtml1/122014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式对一般古典概型,容易验证:只要,则在发生的条件下,发生的概率,总是成立的.在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下,这时发生的概率为由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立.其实,还可以验证,这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义.二、条件概率若是一个概率空间,,若,则对于任意的,称为已知事件发生的条件下,事件
4、发生的条件概率.[例3]一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E(取产品两次,记录其号码)的样本空间为={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}={(1,2),(1
5、,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}由条件概率公式得,http://www.360doc.com/content/14/1126/15/20635596_428238580.shtml2/122014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式[例4]一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,问这时另一个小孩也是女孩的概率?(假定一个小孩是女孩还是男孩是等可能的)解:据题意样本空间为={(男,
6、女),(男,男),(女,女),(女,男)}={已知有一个是女孩}={(男,女),(女,女),(女,男)}={另一个小孩也是女孩}={(女,女)}于是,所求概率为三、条件概率的性质(1)非负性:对任意的(2)规范性:(3)可列可加性:若为一列两两不相交的事件,有证明:(1)因为所以(2)由于,所以(3)由于两两不相交,所以也必然两两不相交,所以http://www.360doc.com/content/14/1126/15/20635596_428238580.shtml3/122014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯
7、公式四、乘法公式由条件概率的定义知:设,则.于是,这就是概率的乘法公式.如果,同样有设且则证明因为,依条件概率的定义,上式的右边五、乘法公式的应用例子[例5]设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打破,第二次落下时打破的概率为7/10,若前两次时未打破,第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.解:以表示事件“透镜第次落下时打破”,以表示事件“透镜三次落下而未打破”.因为,故有[例6]设袋中装有只红球,只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入http:
8、//www.360doc.com/content/14/1126/15/20635596_428238580.shtml4/122014年11月26日条件概率、全概率公式与贝叶斯公式只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的
