数学物理方法§04-1-13

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1、王瑞平：数理方法第四章第1节第四章留数定理由柯西积分公式，解析函数在它的解析区域内各处的函数值是密切相关的，在解析函数的泰勒展式中，展式系数需要环路积分。在本章中，我们将看到：含孤立奇点的解析函数积分值与函数的奇点有关。本章介绍留数理论以及它在一些物理积分中的实际应用。主要介绍如下内容：•单值函数的留数以及留数定理；•留数的计算公式和方法；•留数定理在物理积分中的应用。§4-1单值函数的奇点一、孤立奇异点（奇点）函数的奇点是相对于函数的正常点而言。对孤立奇点：1、函数的奇点：简单讲，单值函数f(z

2、)在z0点无定义即不可导（也有称反常点）：1如例1）f(z)=⑴z(z−1)奇点为：z=0,1。在奇点，函数本身就没定义。对孤立奇点，在以z0为中心的环状邻域0<

3、z-z0

4、<δ内，f(z)的洛朗级数展开：∞kf(z)=∑bk(z−z0)(0<

5、z−z0

6、<δ)⑵k=−∞2、奇点的分类：按洛朗展式主部中出现的最高负次幂m,奇点可以分为三类：⑴可去奇点：展式中没有负幂项，即只有正则部分；此时：对可去奇点，函数补上这个值后即为解析函数。如sinz例2）f(z)=⑶z在它奇点z=0处的洛朗展开。⑵极点（

7、m阶极点）：展式中只有有限的负幂项，显然：mlim(z−z)f(z)=b(≠0)⑷0−mz→z0例1中，当它在奇点z=0或1展开，属于此类。且它们是1阶极点。此时：1王瑞平：数理方法第四章第1节lim

8、f(z)

9、=∞⑸z→z0⑶本性奇点：洛朗展式中有无限多个负幂项。此时f(z)的极限不定。如函数：1/zf(z)=e⑹它具有本性奇点z=0，当z=x±趋于0时：limf(z)=0;limf(z)=∞⑺−+z=x→0z=x→0二、无穷远点的奇异性*在复函数分析中，对无穷远点总是视为奇异点：当以z=0为圆

10、心，R为半径做一圆CR。只要R足够大，圆外除无穷远点外，没有其它奇点，则无穷远点为f(z)孤立奇点。f(z)在无穷远点奇异性由洛朗展式中正幂项决定：即是以R<

11、z

12、<∞中的洛朗展开：mm−1b−1b−2f(z)=L+bz+bz+L+bz+b+++L(R<

13、z

14、<∞)⑴mm−1102zz1、可去奇点——洛朗展式中不含正幂项，即：bb−1−2f(z)=b+++L(R<

15、z

16、<∞)⑵02zz此时：limf(z)=b⑶0z→∞2、m阶极点——展式中包含有限个正幂项：mm−1b−1b−2f(z)=bz+bz

17、+L+bz+b+++L(R<

18、z

19、<∞)⑷mm−1102zzlimf(z)=∞⑸z→∞3、本性奇点：——展式中包含无穷个正幂项：即一般表示。此时：z→∞时，f(z)之值与趋于路径有关，为不定值。两点说明：⑴形式上无穷远点展开，洛朗展式与f(z)在以原点为中心展式相同，但对无穷远点是大尺度展开。如例1中：∞k1111⎛1⎞11f(z)==2=2∑⎜⎟=2+3+L⑹z(z−1)z1−1/zzk=0⎝z⎠zz2王瑞平：数理方法第四章第1节展开区域只要R>1即可。且无穷远为可去奇点。⑵f(z)在有限区域中

20、没有奇点：展开式就是f(z)在

21、z

22、<∞中的泰勒展式。例如函数：zf(z)=e⑺在z=∞为本性奇点,，它的洛朗展式即为它的泰勒展式。实际上，此时可以认为R=0。4思考题：试求函数f(z)=1/(1+z)的奇点。3