《微分学应用》PPT课件(I)

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第十二讲一元微积分的应用(二)——函数(曲线)的凹凸性、拐点、函数图形的描绘第四章导数的应用本章学习要求：熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性、极值等来讨论函数的图形性质，并熟练掌握函数作图过程。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相

2、关变化率和最大、最小值的应用问题。一、曲线的凹凸性、拐点二、曲线的渐近线三、函数图形的描绘第四章中值定理与导数的应用第六节曲线的凹凸性、拐点第七节函数图形的描绘我们说一个函数单调增加,你能画出函数所对应的曲线的图形吗??!..一、曲线的凹凸性、拐点它的图形的形式不尽相同.一般说来,对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线（或切线）的“上方”或“下方”的问题.在数学分析中将这种问题称为曲线(函数)的凹凸性问题.简单地说,在区间I上:曲线弧段位于相应的弦线上方(在切线的“下方”)时,称之为凸的（下凹）;曲线弧段位于相应的弦线下

3、方(切线“上方”)时,称之为凹的（上凹）.凸凹成立,则称曲线在区间I上是凸的;成立,则称曲线在区间I上是凹的.定义1.曲线凹凸性的定义及其判别法有何体会？能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？定理在运用该定理时要注意：但仅在个别孤立点处等于零,则定理仍然成立.该函数的图形请自己绘出.例2解是使的点,是曲线凹凸性的分界点.例4解为判断y’’的正负,先计算y’’=0,得x=0或x=1比较例3和例4,发现使得曲线所对的分界点.我们的兴趣,因为它可能是曲线凹凸性应的函数的二阶导数等于零的点引起了拐点连续曲线上凸弧与凹弧的分界点,称

4、为曲线的拐点.2.曲线拐点的定义及判别法定理(判别拐点的必要条件)称为曲线的拐点可疑点.定理(判别拐点的充分条件)根据拐点的定义立即可证明该定理.求拐点一般步骤拐点拐点例4解例6解例7函数的凹凸性的判别以及函数的极值的判别都与函数的二阶导数有关.你清楚它们之间的联系吗?画画图就能搞清楚.现在我们还不能很好地作出函数的图形,因为还不知道如何求曲线的渐近线.中学就会求了.若动点P沿着曲线y=f(x)的某一方向无限远离坐标原点时,动点P到一直线L的距离趋于零,则称此直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线.二、曲线的渐近线定义曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线

5、斜渐近线水平渐近线这里的极限可以是垂直渐近线想想：怎么求a,b?这里的极限过程可以是以上的极限实际是斜渐近线曲线可以穿过其渐近线.例8解例9解曲线无水平渐近线(函数间断)曲线有斜渐近线吗？例10解请同学课后自己绘出此函数的图形.现在给定一个函数,我们可以讨论它的：定义域、值域、奇偶性、有界性、周期性、连续性、间断点、可微性、单调性、极值、最值、凹凸性、拐点、渐近线、零点位置.用极限讨论函数的变化趋势.用泰勒公式将函数离散化.作函数图形的一般步骤如下：(1)确定函数的定义域,观察奇偶性、周期性.(2)求函数的一、二阶导数,(3)列表,确定函数的单调性

6、、凹凸性、极值、拐点.(4)求曲线的渐近线.(5)作出函数的图形.三、函数图形的描绘确定极值可疑点和拐点可疑点.例12解极大拐点曲线无水平渐近线.