《多元微分学的应用》PPT课件

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1、高等院校非数学类本科数学课程大学数学（三）多元微积分学第一章多元函数微分学第一章多元函数微分学本章学习要求：理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺

2、序无关的条件。理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。知道二元函数的泰勒公式形式。知道n元函数的偏导数概念及其求法。熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。11.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12.理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法

3、求条件极值。13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。多元微分学的应用●在几何方面的应用●在优化方面的应用●在几何方面的应用第二节空间曲面的切平面一个钢球放在一块平整光滑的钢板上平面球面相切？由前面讲过的解析几何知识可知:面方程为上点若已知曲面处切平面的法向量为,则曲面在该点的切平法线方程为行分析,看看有什么结果.下面对曲面及其上的曲线的关系进实际上,到现在为止我们还不知道曲面的切平面的准确定义.设曲面的方程为任取一条过点P的曲线L，设其方程为此时有设对应于点则

4、上式在t0处的全导数,在曲面上向量的数量积记则由上面的全导数可知:即由此得到曲面的切平面的定义和切平面的方程这说明曲面上任一条过点P的曲线在点P处的切线与向量垂直,因此这些切线位于同一平面上,该平面即曲面在点P处的切平面.即是切平面的法向量.曲面的切平面的概念若过空间曲面上点M(x,y,z)处的平面.上，则称该平面为曲面在点M处的切处的切线均存在，且都位于同一个平面任意一条完全位于曲面上的曲线在点M定理设R3中曲面的方程为若函数在点处可微,且函数在点导数不全为零,则曲面在点在，其方程为处的各一阶偏有切平面存(

5、切平面存在定理)曲面的法线的概念若过空间曲面上点M(x,y,z)且与曲面在点M处的切平面垂直的直线,称为曲面在点M处的法线。法线的方程如何写?切平面的法向量可作为法线的方向向量定理设R3中曲面的方程为若函数在点处可微,且函数在点导数不全为零,则曲面在点为处的各一阶偏的法线方程例5求椭球面在点处的切平面和法线方程.解令则切平面方程即法线方程例6求在点处的切平面和法线方程.解令则切平面方程：法线方程：由例6可知曲面方程为令则时，例7证明：曲面上，任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.证令,则故曲面上任意

6、一点处的切平面的法向量可取为例7于是，切平面方程为由于点在曲面上，故切平面方程可化为证明：曲面上，任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.例7这是平面截距式方程从而，切平面在各坐标轴上的截距之和为截距证明：曲面上，任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.参数方程形式下曲面的切平面与法线方程设曲面由参数方程给出：对应于曲面上的点隐函数先看书,再想一想,可否用不同于书中的方法做？曲面方程为令则时，回忆一下前面讲过的例6的结论你打算怎么做?参数方程形式下曲面的切平面与法线方程设曲面由参数方程给出：由此找

7、出u,v与x,y的关系代入产生若方程组可确定函数组且满足代入中得且有利用隐函数求导法求对u,v的偏导数：就是说，z是x和y的函数z=z(x,y)当时，由克莱满法则解得由曲面方程可知曲面在点处切平面的法向量为设曲面由参数方程给出：在点可微,则曲面在点处切平面的法向量为结论求球面在对应于处的切平面方程和法线方程.解故例8切平面方程:即法线方程:二元函数全微分的几何意义请课后自己看书又要看书，烦人!读书人不看书？！谢谢观看！