《微分学几何应用》PPT课件

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1、定义:设M0是空间曲线L上的一个定点,M是L上的一个动点,当M沿曲线L趋于M0时,割线M0M的极限位置MT0(如果极限存在)称为曲线L在M0处的切线.下面导出空间曲线的切线方程.§8.6多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线和法平面1.空间曲线方程为参数方程的情形:(1)式中的三个函数均可导.且导数不同时为零.L:(1)设M0(x0,y0,zo)对应参数t=t0,M(x0+x,y0+y,zo+z)对应参数t=t0+t.则割线M0M的方程为:考察割线趋近于极限位置——切线的过程:上式分母同除以t,得当M→M0,即t→0时,曲线在M处的切线方程为:切向量(切线的方向向量)为

2、法平面(过M0点且与切线垂直的平面)的方程为:故,切线方程为:法平面方程为:解:当t=0时对应曲线上的点的坐标为M0(0,1,2),而则切向量为:例1:求曲线在t=0处的切线和法平面方程.即在M0(x0,y0,zo)处,取x为参数,则切向量为:的情形:2.空间曲线方程为法平面方程为:切线方程为:3.空间曲线方程为的情形:切线方程为:法平面方程为:例2:求曲线在点(1,–2,1)处的切线及法平面方程.解一:直接利用公式.解二:在所给方程的两边对x求导并移项,得解得在点(1,-2,1)处由此得切向量为:所求切线方程为:法平面方程为:即二、曲面的切平面与法线1.曲面的方程为一般方程F(x

3、,y,z)=0的情形:在曲面上任取一条通过点M(x0,y0,z0)的曲线对应M有t=t0.曲线在M处的切向量为:令又因为为曲面上的曲线,故有F((t),(t),(t))0上式在t=t0处对t求导得,Fx(x0,y0,z0)(t0)+Fy(x0,y0,z0)(t0)+Fz(x0,y0,z0)(t0)=0切平面的方程为:Fx(x0,y0,z0)(x–x0)+Fy(x0,y0,z0)(y–y0)+Fz(x0,y0,z0)(y–y0)=0曲线在点M处的切向量满足:由曲线在曲面上的任意性知,上过点M的任意曲线的切线都垂直于同一向量因此,所有这些切线都在同一平面上

4、.且这张平面的法向量为,并称为曲面的在点M处的法向量;称这张平面为曲面在点M处的切平面.通过点M(x0,y0,z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为:2.曲面的方程为显函数z=f(x,y)的情形:令F(x,y,z)=f(x,y)–z,则曲面在点M(x0,y0,z0)的法向量为:故,切平面方程为:法线方程为:因为,曲面z=f(x,y)在M处的切平面方程为切平面上点的竖坐标的增量z.全微分的几何意义函数z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分,表示曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)处的切平面上的点的竖坐标的增量,即以切平面上点的改变量近似代替曲面上该

5、点处的改变量.函数z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分.即dz=fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y.若,,表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与z轴的正向所成的角是锐角,则法向量的方向余弦为:其中MT)PN回顾一元函数微分的几何意义:设曲线C的方程为y=f(x),曲线C上的点M处有切线.则y是曲线C上关于点N的纵坐标的增量,而dy是曲线C在点M处的切线对应点P的纵坐标的增量.例3:求旋转抛物面z=x2+y2–1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解:设f(x,y)=x2+y2–1.则法向量为:切平面方程为:法线方程为:即例4:求

6、曲面z–ez+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面及法线方程.解:令F(x,y,z)=z–ez+2xy–3,则切平面方程为:法线方程为:解:设(x0,y0,z0)为曲面上的切点,曲面在该点处的法向量为:切平面方程为:依题意,切平面平行于已知平面x+4y+6z=0,得即例5:求曲面x2+2y2+3z2=21平行于平面x+4y+6z=0的切平面方程.即因为(x0,y0,z0)是曲面上的切点,故满足方程因此所求切点为:(1,2,2)和(–1,–2,–2).所求切平面方程为:解:令则x02+2y02+3z02=21,即x02+2(2x0)2+3(2x0)2=21,得,x0=1,和即和上求一

7、点,使它的法线与坐标轴正向成等角.例6:在椭球面注意到法线与坐标轴正向的夹角,,相等,即解得所求点的坐标为:故椭球面上任一点P(x0,y0,z0)的法线方向向量为:故,又曲面的切平面与法线:求法向量的方向余弦时注意符号.三、小结空间曲线的切线与法平面:当空间曲线方程为一般式时,求切向量注意采用推导法.思考题解答设切点P(x0,y0,z0),则法向量为:依题意知,切平面的法向量为:又由于切点满足曲面和平面方程,即则得解得:思考题如果平面3x