近独立粒子的最概然分布

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1、第二章近独立粒子的最概然分布一：四球在箱子中的分布：前面介绍了热力学基本概念，本章内容：介绍统计物理的基本原理、三种分布，以及三种分布之间的关系。在介绍基本原理之前，先介绍一个简单的例子：四球模型，用来引出统计物理的一些基本概念。第1节四球模型四球在箱子中，左2右2为最大概率。为什么？（1）：分布与微观态：分布：不标记球，只数球在每边的数目。左3右1——称为一个分布左2右2，左1右3，等等对于4球来说，共有5个分布，左边有0，1，2，3，4个球。对每个分布，都有4个球不同的组成方法，称为组态，或称为一个微观态。如：左1右3，有4个不同的微观态（4个球分别起名字a,b,c,d）：

2、a,bcd;b,acd;c,abd;d,abc.对于左2右2，有6个不同的微观态：ab,cd;ac,bd;ad,bc;bc,ad;bd,ac;cd,ab.如果微观态数用Ω(n)表示，n表示左边的球数，则：Ω(1)=4;Ω(2)=6（2）：等几率假设：每球出现在左半边的几率p=0.5，在右半边的几率q=1-p=0.5.对于每个微观态，相当于4个不相关的事件，出现的几率都是0.44.如果是N个球，则每个微观态出现的几率为0.5N.（玻耳兹曼）等几率假设：每个微观态出现的几率都相同。（3）：最可几分布对于每个分布，则因为微观态数不同，所以出现的几率也不同。其中微观态最多的分布，出现几

3、率最大——称为最可几分布。讨论：1：什么是分布？2：什么是微观态？3：最可几分布出现概率可以远远大于其他分布。二：推广为N个分子在箱子中的分布左边分子数为n，右边分子数为n'，总分子数N=n+n'，微观态数目为Ω(n).实验观察：1，相互碰撞与箱壁碰撞，不规则运动。2，把箱子等分为左右两部分，左与右分子数目大致相等。（1）：微观态和分布：左边n个粒子，相当于从N个粒子中选取个n，剩下个在右边。选取方法有（2）：最可几分布：分析：微观态数目最大的分布即为最可几分布。当N和n很大时，可用stirling公式：对上式计算微分：找出最大的Ω(n)对应的n=?对上式两边取对数，得：化简，

4、并令微分式等于零：用同样的思路，在计算中保留变量n和n'，求解最可几问题：再对限制条件n+n'=N取微分：用待定乘子λ乘此式与上式相减上式成立的条件是δn和δn'的系数均为0，即：——拉格朗日乘子方法求解条件极值。三：涨落虽然n=n'是最可几分布，但系统并不是总处在这个分布上。实际观测发现有微小的上下波动：为了表示涨落的相对大小，通常用均方根与n的比值来定义相对涨落当粒子数较少时，涨落很大；当粒子数较大，则涨落可忽略N=4时，涨落为N=102时，涨落为N=1020时，涨落为第2节粒子运动状态的经典描述运动状态：一：相空间（μ空间）：能量能量可写成：粒子的自由度：r，由r个量才能

5、确定粒子的位置，另外r个量则可以确定粒子该方向上的动量。例：粒子r=3，转子、双原子分子r=6当有外场影响时，能量还可以是外场的函数，例如H（磁场强度）等。可以用2r维正交坐标系（可以是高维坐标系）来描述粒子的状态.对于1维粒子，可以用2维（直角）坐标系中的一个点来描述（包括位置坐标q和动量p）2维——4维坐标系中的1个点3维——6维坐标系中的1个点r维——2r维坐标系中的1个点来描述该粒子的运动状态。粒子运动状态的代表点：2r维正交坐标系的1个点。相空间（μ空间）：这个坐标系构成的空间，可以描述粒子运动状态。相轨道：粒子状态改变，代表点在相空间移动描出的线。相体积：粒子运动，

6、代表点的相轨道占有一定的体积。举例熟悉上述概念：相空间（μ空间），相轨道，相体积等。二：自由粒子：1维：用x和px表示状态，则x-px空间构成相空间。一个自由粒子，在一维箱内（L－箱长）能量固定为ε讨论：以下情况时的相空间，相轨道和相体积，用τ(ε)表示相体积，则相体积元dτ(ε)=dxdpx运动轨道所占据的相体积为：条件下的相体积？三维箱V中的自由粒子自由粒子在能量ε-ε+dε范围时的相体积，简称：自由粒子在dε内的相体积。三：线性谐振子：质量m，在回复力f=-kx作用下振动。k，弹性系数。——圆频率能量＝与坐标有关（势能）＋与动量有关（动能）当ε固定时，相轨道为椭圆变形为标

7、准椭圆方程：谐振子在能量ε-ε+dε范围时的相体积第3节粒子运动状态的量子描述量子力学对于微观粒子运动状态的描述，和经典描述方法有较大的差异。例如：能量的不连续性；波函数；量子数等。一：线性谐振子：n——描述量子态的量子数，可取整数或者半整数（此处只取整数）——普朗克常数ω——线性谐振子的圆频率二：外磁场中的电子自旋：电子具有自旋动量矩s，自旋磁矩μ其中s的量子化取值为——自旋量子数，这里只有两个取值自旋磁矩取值为：如果有外场B，则电子自旋磁矩在外场中的势能为：电子自旋的势能ε由自旋量子数m