近独立粒子的最概然分布

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1、第六章近独立粒子的最概然分布基本内容：粒子运动状态的描述热力学系统的微观状态的描述等概率原理三种分布§6-1粒子运动状态的经典描述一.粒子的运动状态粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。例：气体中的分子金属中的离子和电子辐射场中的光子粒子的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。设粒子的自由度数r（能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目），粒子在任一时刻的力学运动状态（或者微观运动状态）由2r个广义坐标和广义动量

2、确定：二.粒子的运动状态的经典描述粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数：如果有外场，粒子的能量还是外场的函数。由2r个广义坐标和广义动量张成的2r维直角坐标空间：μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点称为粒子运动状态的代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨迹。1.三维自由粒子自由度：3；μ空间维数：6能量：能量球面半径：三.例子以一维自由粒子为例，以为直角坐标，构成二维的空间，设一维容器的长度为，粒子的一个运动状态可以用空间在一定范围内的一点代表:能量：2.线性谐振子自由

3、度：1μ空间维数：2能量椭圆xp质量为m的粒子在弹性力作用下,将在原点附近作圆频率的简谐振动，称为线性谐振子。3.转子质点在直角坐标下的能量：坐标用球坐标表示:oxyzA考虑质量为m的质点被具有固定长度的轻杆系于原点O时所作的运动。考虑质点和原点的距离保持不变，于是：自由度：2μ空间维数：4广义坐标：广义动量：能量：如何出来的？能量的形式和转子的对称性有关。转子的拉格朗日量：广义动量的形式和转子的拉格朗日量有关。z方向的角动量：§6-2粒子运动状态的量子描述微观粒子普遍具有波粒二象性（粒子性与波动性）德布罗意关系(1924年)：不

4、确定性关系（1925年）其中都称为普朗克常数。在量子力学中，微观粒子的运动状态是用波函数来描述的，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态往往可以由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于粒子的自由度数。微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标,经典描述失效微观粒子的运动不是轨道运动微观粒子的能量是不连续的,分立的能量称为能级。如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。一个能级的量子态数称为该能级的简并度。如果一个能级只有量子态，该能级称为非简并的。普朗克常数的量纲：[时间]·[能量]=[长度]·[动量]=[角动量]具有这样量纲的一

5、个物理量通常称为作用量，因而普朗克常数也称为基本的作用量子。这个作用量子常作为判别采用经典描述或量子描述的判据。一、自旋电子(质子、中子等)具有内禀角动量（自旋）和内禀磁矩,关系为：自旋角动量在空间任意方向上的投影（比如说z轴）只能取两个值:在外磁场中的势能为二、线性谐振子圆频率为的线性谐振子的能量可能值为所有能级等间距，均为,每一个能级都是非简并的，即简并度为1。三、转子基态非简并，激发态简并，简并度：转子的能量:量子理论要求:固定l，角动量在空间任意方向上（比如说z轴）的投影:转子的运动状态由l和m两个量子数表征。转子的运动状

6、态即量子态用球谐函数描写，它由l和m两个量子数表征，l称为角动量量子数，一般为非负整数。四、自由粒子一维自由粒子：考虑处于长度为的一维容器中自由粒子。采用周期性边界条件，其德布罗意波长满足：基态能级为非简并，激发态为二度简并。三维自由粒子考虑处于长度为L的三维容器中自由粒子的运动状态。假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动，仿照一维粒子的情形，该粒子在三个方向动量的可能值为：量子数：3个能量的可能值为能量值决定于：比如对于：有六个量子态与之对应，基态能级为非简并，激发态为6度简并。进一步理解这个式子，我们在μ空间中引入相格的概

7、念。首先，注意到是μ空间中的一个体积元；其次，普朗克常数h的量纲：[h]=[时间]·[能量]=[长度]·[动量][h]3=[长度]3·[动量]3h3是μ空间中的一个体积，称之为一个相格。进一步说明：微观粒子的运动必须遵守不确定性关系，不可能同时具有确定的动量和坐标，所以量子态不能用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标和广义动量描述量子态，那么一个状态必然对应于空间中的一个体积元（相格），而不是一个点，这个体积元称为量子相格。右边表示在μ空间中以h3为单位的相格的个数，左边表示量子态的数目。一个相格h3内只有一个量子态自由度为

8、1的粒子，相格大小为普朗克常数：如果自由度为r，相格大小为：对动量采用球坐标：opxpypzD(p)表示单位动量大小间隔范围内的量子态数，称为动量空间的态密度。对非相对论性的自由粒子，有：表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为能量态密度，简称为