第六章-近独立粒子的最概然分布(习题课).doc

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1、第六章近独立粒子的最概然分布(习题课)本章题型一、基本概念：1、粒子相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态、系统微观状态；经典相格与粒子微观状态；系统宏观态与系统微观态。2、等概率原理（统计物理学的基本假设）：平衡态孤立系统的各个微观态出现的概率相等。最概然分布作为平衡态下的分布近似。3、近独立粒子孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微观状态数及各分布出现的几率、最概然分布。1与分布对应的微观状态数为分布要满足的条件是：系统总的微观状态数系统某时刻的微观状态只是其中的一个。在宏观短，微观长时间

2、内（一瞬间）系统经历了所有的微观状态----各态历经假说。且各微观态出现的概率相等1---玻耳慈曼分布。此分布（宏观态）的概率为即：最概然分布几乎就是孤立系统的平衡态分布。4、热力学第一定律的统计解释：比较可知：即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能级引起内能变化；传热：通过改变粒子分布引起内能变化。二、相关公式1、分布与微观状态数①、②、③、④、2、最概然分布玻耳兹曼分布玻色-爱因斯坦分布费米-狄拉克分布本章题型※、第一类是求粒子运动状态在空间的相轨迹:关键是由已知条件写出广义坐标和广义动量满足的函数关

3、系。※、第二类是求粒子能态密度；已知粒子的哈密顿量与广义坐标和广义动量满足的函数关系，求粒子能态密度。不同方法有不同步骤，方法有：方法一：量子力学方法。第一步，解薛定谔方程，求能量本证值第二步，求出粒子能量小于的量子态数第三步，求出粒子能量在到范围的量子态数。方法二：半经典近似法。该方法的依据是：对自由度为的一个粒子，对每一个可能的状态对于空间中大小为的一个相体积元，因此，粒子能量小于的量子态数为由此求得粒子能量在到范围的量子态数。计算步骤：第一步、写出粒子自由度和粒子哈密顿。第二步、由求出粒子能量小于的状态数

4、。第三步、求出粒子态密度。[例1]、对于二维自由粒子，在长度L2内，求粒子在到的能量范围内量子态数。方法一：解，量子力学方法:边长为L的正方形平面内，粒子哈密顿算符的能量本征方程为设：则解得：利用周期性边界条件：得：由上式可知，量子数完全决定了粒子的量子状态。以为直角坐标轴，构成二维量子数空间，每一组数对应一个点，它代表一个量子态，这种点成为代表点，此空间中边长为1的一个正方形（面积为1）内有1个代表点，即相应于1个量子态。由可知，在数空间中能量的等能线为半径的圆，它所包围的面积为，而单位面积对应1个量子态，所

5、以粒子能量小于的量子态数为，所以粒子在到的能量范围内的量子态数其中：为态密度，显然此情况在数空间态密度是均匀的。方法二：解，半经典方法:由可知，在二维动量空间中，等能线满足，等能线为半径等于的圆，由此求得粒子能量小于的量子态数：所以粒子在到的能量范围内的量子态数※、第三类确定孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微观状态数及各分布出现的几率或求最概然分布。[例2]：（1）假设某种类型分子的许可能级为0、、、、……，而且都是非简并的，如果体系含有6个分子，问与总能量相联系的是什么样的分布？并根据公式计算每种

6、分布的微观态数,并由此确定各种分布的几率（设各种微观态出现的几率相等）。（2）、在题（1）中，如0和两能级是非简并的，而和两个能级分别是6度和10度简并。试重复上面的计算。解：（1）粒子的在各能级的分布可以描述如下：能级能量值简并度分布数分布要满足的条件是：，满足上述限制条件的分布可以有：则各分布所对应的微观态数为：所以此种情况下体系的总的微观状态数为各分布的几率为：（2）粒子的在各能级的分布可以描述如下：能级能量值简并度分布数分布要满足的条件是：，满足上述限制条件的分布可以有：则各分布所对应的微观态数为：所以

7、此种情况下体系的总的微观状态数为各分布的几率为：[例3]：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：和其中和是两种粒子的能级，和是能级简并度。证：粒子A能级，粒子数分布：——{al}——简并度粒子B能级，粒子数分布：——{a’l}——简并度体系两种粒子分布要满足的条件为：，分布，对应的微观状态数为                         分布，对应的微观状态数为  

8、                       则系统的微观态数为上式表明：当第一类粒子的分布为{al}，而同时第二类粒子的分布为{a’l}时系统的微观态数。在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件，下使为极大的分布。利用斯特林公式可得：由，得而由限制条件可得：，引入拉氏不定乘子，得根据拉格朗日未定乘子法原理，每个及的系数都等于零，所以得：讨论：（1）、上面的推导表明，两种粒子各自