控制系统的数学模型1

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1、第2章控制系统的数学模型2.1线性系统的微分方程2.2非线性系统的线性化2.3传递函数2.4方框图及其变换2.5信号流图及其应用2.6控制系统的典型传递函数2.7用Matlab处理系统数学模型控制系统的数学模型：描述系统内部各变量之间关系的数学表达式。工程控制中常用的数学模型有三种：微分方程----------时域描述传递函数----------复域描述频率特性----------频域描述本节主要介绍传递函数与微分方程两种数学模型。建立控制系统数学模型的方法主要有两种：分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，依据其所遵

2、循的基本定律，列写出相应的运动方程，最后得到有关输入与输出关系的数学表达式。实验法：给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，该方法也称为系统辨识。2.1线性系统的微分方程用分析法建立系统微分方程的一般步骤如下：(1)分析系统的工作原理和系统中各变量之间的关系，确定系统的输入量、输出量和中间变量。(2)根据系统（或元件）的基本定律（物理、化学定律），从系统的输入端开始，依次列写组成系统各元件的运动方程（微分方程）。(3)联立方程，消去中间变量，得到有关输入量与输出量之间关系的微分方程。(4)标准

3、化。将与输出量有关的各项放在方程的左边，与输入量有关的各项放在方程的右边，等式两边的导数项按降幂排列。下面举例说明系统微分方程列写的步骤和方法。例2-1设有由电阻R，电感L和电容C组成的电路。试列写以ui为输入量，uo为输出量的微分方程。解设回路电流为i，根据基尔霍夫定律消去中间变量i，得到系统输入输出关系的微分方程为：例2-2设有由惯性负载和粘性摩擦阻尼器构成的机械转动系统，如图所示。试列写以力矩Mi为输入变量，角速度ω为输出变量的系统微分方程。JMiωf解根据牛顿定律可写出下列方程式中，fω—阻尼器的粘性摩擦阻力矩

4、，它与角速度ω成正比；f—阻尼系数；J—惯性负载的转动惯量（1）将方程(1)写成标准形式，求得系统的微分方程为：若以负载转角θ为系统的输出量，即有则系统的微分方程为例2-3弹簧——质量块——阻尼器系统解当外力f(t)作用于系统时，系统产生位移X(t)由力的传递特性，有：B消去中间变量：令输入，输出2.2非线性系统的线性化实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线性特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同程度地具有非线性特性。在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件下简化为线性问题，即将非线性模型线性化。非线性函数的线

5、性化:将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略二次以上高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程。假如元件的输出与输入之间的关系的曲线如图所示，元件的工作点为(x0，y0)。将非线性函数y=f(x)在工作点(x0，y0)附近展开成泰勒级数，得xyx0y00当(x-x0)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成：式中，为工作点(x0，y0)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，则输出与输入之间就变成了线性关系。如果系统中非线性元件不止一个，则必须对各非线性元件建立它们工作点的线性化增量方程

6、。具有两个自变量的非线性函数的线性化增量线性方程在求取线性化增量方程时应注意：线性化方程通常是以增量方程描述的；线性化往往是相对某一工作点（平衡点）进行的。在线性化之前，必须确定元件的工作点；变量的变化必须是小范围的；对于严重非线性元件或系统，原则上不能用小偏差法进行线性化，应利用非线性系统理论解决。2.3传递函数控制系统的微分方程：在时间域描述系统动态性能的数学模型。给定外作用和初始条件，求解控制系统的微分方程可得到系统输出响应的表达式，并可作出输出量的时间响应曲线。当系统参数或结构改变，需要重写微分方程。微分方程阶

7、数越高，工作越复杂，使用微分方程对系统进行分析与设计就存在不便。利用传递函数不必求解微分方程就可分析系统的动态性能，以及系统参数或结构变化对动态性能的影响。2.3.1传递函数的定义线性定常系统的传递函数：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。即图2-1传递函数方框图传递函数与输入、输出之间的关系，可用图2-1所示的方框图表示。设线性定常系统的微分方程为：c(t)—系统输出量；r(t)—系统输入量；（1）—由系统结构和参数决定的常数。设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式（1）取

8、拉氏变换得：则系统的传递函数为：2.3.2传递函数的基本性质传递函数的概念只适用于线性定常系统。传递函数只与系统本身的结构和参数有关，与系统输入量的大小和形式无关。传递函数是在零初始条件下定义的，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。传递函数为一有理真分式，即一般n≥m,系数均为实数。一个传递函数只能表示单输入单输