03_控制方程的离散化方法

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1、ElectiveCourseforGraduateStudents3.1概述¢什么是离散化•CFD计算之前，要对计算区域进行离散化，包括空间3控制方程的离散化方法离散和时间离散(瞬态问题)。•空间离散是对空间上连续的计算域进行划分，把它划分成许多子域，并确定每个区域中的节点，从而生成网格。然后将控制方程在网格上离散，即将偏微分孙晓颖格式的控制方程转化为各个节点上的代数方程组。HarbinInstituteofTechnology1¢离散化的目的3.2常用的离散化方法•在计算域上建立偏微分方程理论上有真解，

2、但由于¢有限差分法(FiniteDifferenceMethod)—点近似问题的复杂性，很难获得真解，需通过数值方法把计•基本思想：将求解域划分为差分网格，用有限个网格算域内有限数量的因变量作为未知量处理，建立一组节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程(控制方程)关于未知量的代数方程。导数项用差商来代替，推导出含有离散点上有限个未•偏微分方程定解问题的数值解法分成两阶段：知数的差分方程组，求解方程组的近似解。1)用网格线将连续的计算域划分为有限离散点(网格•FDM法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似节

3、点)集，并选择适当路径将微分方程及其定解条件转数值解法，数学概念直观，表达简单，是数值解法中化为网格节点上相应的代数方程组，即建立离散方程最古老也是最经典的方法。组。•多用于求解双曲型和抛物型问题；对边界条件复杂、2)在计算机上求解离散方程组，得到节点上的解尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。23•差分格式•有限差发法的出发点是守恒型方程的微分形式，求1)从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和解域用网格覆盖，在每个网格节点上，通过将偏导数高阶格式。近似为节点函数值的代数方程式来近似原偏微分方

4、2)从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆程。最终在每一个节点上都有一个代数方程，方程的风格式。未知数是中心节点以及相邻节点上的变量值。3)考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格•虽然有限差分法理论上可用于任意网格，但是采用式、隐格式、显隐交替格式等。结构化网格最为方便，在结构化网格中，网格线可作目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组为局部坐标系的坐标线。合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于结构化网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。451•Cartesi

5、an坐标系下输运方程的表达式•构造差分的方法1)构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。•有限差分的概念是从导数的定义中得到的：2)基本的差分表达式主要有三种：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等。其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计•几种常用的差分格式xx算精度。x3i−1xix1i+3i−2i+2223)通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，ΔΔΔ可以组合成不同的差分计算格式。67¢有限元法(FiniteElementMethod)——函数逼近•

6、基本思想：将一个连续的求解域划分为有限个互不重叠的单元，在单元内分片构造插值函数，然后根据极值原理(变分法或加权余量法)，将控制方程转化成所有单元上的有限元方程，再将局部单元总体合成，形成嵌入了边界条件的代数方程组，求解方程组即可得到各节点上的未知函数值。•有限元法的基础是极值原理(变分法或加权余量法)和划分插值，具有广泛的适应性，特别适用于几何和物理条件比较复杂的问题，便于程序的标准化。对椭圆型方程问题有更好的适用性。89•有限元法的原理•有限元法的计算格式•有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机

7、根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。方法也分为多种计算格式。1)从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最•在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不小二乘法和伽辽金法；重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，2)从计算单元网格的形状来划分，有三角形网用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个格、四边形网格和多边形网格；计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组3)从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有

8、单元上数和高次插值函数等。的近似解构成。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。10112•有限元法的插值函数•有限元法的求解步骤•第一类：只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称•建立积分方程为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；•区域单元剖分•第二类：不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值•确定单元基函数在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。•单元分析•有限元法的单元坐标•总体合成•单元坐标有笛卡