连续系统的离散化方法

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1、第四章连续系统的离散化方法4.1常微分方程的数值解法4.1.1数值求解的基本概念已知一个一阶微分方程应用数值求解的思路是，从初值开始，在一系列时刻，求未知解的近似解，h是计算步长。若x对t的各阶导数都存在。则x(t)在时的解用台劳级数表示为：4.1.2欧拉法初始条件为计算时的，欧拉法的计算公式为其一般公式为称为截断误差例4－1用欧拉法求下述微分方程的数值解。解：因欧拉法的递推公式为所以则递推公式为：若取步长由t=0开始计算可得上式的精确解是数值计算与精确解的比较见表t00.10.20.31.0精确解x(t)10.90

2、909090.83333330.76923070.510.90.8190.57190.46278104.1.3龙格－库塔法将在点处作台劳级数展开，并取线性部分可得将代入式比较各项系数得待定系数个数超过方程个数，必须先设定一个系数，然后即可求得其参数。一般有以下几种取法：1、则一般形式2、则一般形式3、则一般形式以上几种递推公式均称为二阶龙格－库塔公式。是较典型的几个常用算法。其中的方法3又称为预估－校正法，或梯形法。其意义如下：用欧拉法以斜率先求取一点，再由此点求得另一斜率然后，从点开始，既不按该点斜率变化，也不按预

3、估点斜率变化，而是取两者平均值求得校正点，即：。四阶龙格－库塔法的计算公式为：对于用状态方程表示的高阶线性系统其中状态变量为用四阶龙格－库塔法时，有计算公式为：其中，相应的输出为按上式，取不断递推，即可求得所需时刻的状态变量和输出值德国学者Felhberg对传统的龙格－库塔法提出了改进，在每一个计算步长内对f()函数进行了六次求值，以保证更高的精度和数值稳定性，假设当前的步长为，定义下面6个变量下一步的状态变量可由下式求出：四阶/五阶龙格－库塔法系数表016/13525/2161/41/4003/83/329/326

4、656/128251408/256512/131932/2197-7200/21977296/219728561/564302197/41041439/216-83680/513-845/4104-9/50-1/51/2-8/272-3544/25651859/4104-11/402/550这一方法又称为四阶/五阶龙格－库塔法。4.1.4微分方程数值解的MATLAB实现1、该指令适用于一阶常微分方程组如遇到高阶常微分方程，必须先将他们转换成一阶微分方程组，即状态方程方可使用。2、输入参数为定义微分方程组M－函数文件名

5、，可以在文件名加写@，或用英文格式单引号界定文件名。3、在编辑调试窗口中编写一阶常微分方程组的M－函数文件时，每个微分方程的格式必须与一致，即等号严格以“先自变量t，后函数”的固定顺序输入，表示微分方程的序数。左边为带求函数的一阶导数，右边函数的变量4、输入参数“Tspan”规定了常微分方程的自变量取值范围，它以矩阵[t0,tf]的形式输入，表示自变量5、输入参数x0表示初始条件向量，微分方程组中的方程个数必须等于初始条件数，这是求微分方程特解所必须的条件。6、输入参数options表示选项参数（包括tol，trac

6、e），可缺省，即取默认值，tol是控制结果精度的选项对ode23()函数取，对ode45()函数取。trace为输出形式控制变量，如果trace不为0，则会将仿真中间结果逐步地由频幕显示出来，否则将不显示中间结果7、输出参数[t,x]为微分方程组解函数的列表（t和x都是列矩阵），它包含向量t各节点和与对应向量x的第j个分量值（即第j个方程解），i表示节点序列数。8、输出参数[t,x]缺省时，输出解函数的曲线，即函数及其各的曲线。阶导数求解微分方程的指令还有ode113（多步解法器），ode15s（基于数字微分公式的解

7、法器），ode23s（单步解法器），ode23T（梯形规则的一种自由插值实现），ode23TB（二阶隐式龙格－库塔公式）等。例4－1求解常微分方程，初始条件为：解：方法1把二阶微分方程化成两个一阶微分方程组：令则：首先编制M文件，并且函数名和M文件名相同。functionxdot=wffc_1(t,x)%定义输入、输出变量和函数文件名xdot=zeros(2,1);%明确xdot的维数xdot(1)=x(1);%第一个微分方程表示形式xdot(2)=-x(1)+2+t^2/pi;%第二个微分方程表示形式方法2写出系统

8、的状态方程首先编制M文件，并且函数名和M文件名相同。functionxdot=wffc_1(t,x)%定义t,x,xdot和文件名xdot=[01;-10]*x+[0;1]*(2+t^2/pi);%状态方程的表示形式在命令窗口键入[t,x]=ode45(@wffc_1,[0,10],[-1;1])，可得微分方程的数值解，其前10组数据如下：t=