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《控制系统仿真和MATLAB语言_连续系统的离散化方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第四章 连续系统的离散化方法4.1常微分方程的数值解法一.数值求解的基本概念设微分方程为则求解方程中函数x(t)问题的常微分方程初值问题所谓数值求解就是要在时间区间[a,b]中取若干离散点求出微分方程在这些时刻的近似值取前两项近似：这种方法的几何意义就是把f(t,x)在区间[tk,tk+1]内的曲边面积用矩形面积近似代替。计算简单，计算量小，而且可以自启动。当h很小时，造成的误差是允许的。该算法具有一阶精度。取k=0,1,2,…N,从t0开始，逐点递推求解t1时的y1，t2时的y2…,直至tn时的yn，称之为欧拉递推公式。矩形面积1.欧拉法欧拉法的特点：导出简单，几何意
2、义明显，便于理解，能说明构造数值解法一般计算公式的基本思想。通常用它来说明有关的基本概念。例设系统方程为用Euler法求其数值解（取步长,)递推公式为则已知方程的解析解为 精确解和解析解作比较：误差在数量级，精度较差。t00.10.20.30.40.5……1.0精确解10.9090.8330.7690.6660.625……0.5数值解10.90.8190.7520.6590.6470.4632.龙格库塔法※基本思想：取Taylor级数展开式前三项近似求解，并利用线性组合代替导数的求解。既可避免计算高阶导数，又可提高数值积分的精度，这就是Runge-Kutta法
3、的基本思想。2.龙格库塔法※r为精度阶次，ai为待定系数，由精度确定；ki用下式表示线性组合等各阶导数不易计算，用下式中ki的线性组合代替1)当r=1时：与Taloy展开式相比较，可得a1=1,则上式成为欧拉递推公式2)当r=2时：将 在点 展成Taylor级数与台劳公式的二阶展开近似公式相比，可得以下关系：三个方程，四个未知数，解不唯一各个系数的几种取法——见书上。3)r=4时，四阶龙格库塔公式-最常用：仿真中遇到的大多数工程实际问题，四阶龙格库塔法以能满足精度要求，其截断误差o(h5)与h5同数量级。该法可以自启动。4)、状态空间四阶龙格-库塔递推式
4、若单输入单输出系统的状态空间表达式为：在仿真中，对于n阶系统，状态方程可以写成一阶微分方程根据四阶龙格-库塔公式,有T=tk时刻的xi值T=tk+h时刻的xi值另状态方程的四阶龙格-库塔公式如下：RK法的特点：1需要存储的数据少，占用的存储空间少；2只需知道初值，即可启动递推公式进行计算，可自启动；3容易实现变步长运算。4每积分一步需要计算多次右函数，计算量大。基于龙格－库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：[t,x]=ode23(‘xfun’,[t0,tf],x0)[t,x]=ode45(‘xfun’,[t0,tf],x0)常微分方程函数
5、名起始时间终止时间初始状态向量输入输出4/5阶龙格-库塔算法2/3阶龙格-库塔算法3.常微分方程Matlab求解解:令y1=x，y2=x’1、建立M-文件vdp.m如下：functiondy=vdp(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=2*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);2、取t0=0，tf=20，输入命令：[T,Y]=ode45(‘vdp’,[010],[1;1]);plot(T,Y(:,1),'-‘,T,Y(:,2))3、结果解1、建立m-文件rigid.m如下：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(
6、3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入命令：[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、结果如图图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.4.2数值算法的稳定性及求解原则1.数值算法的稳定性特征根在s平面的左半平面，系统稳定。(1)欧拉法：稳定：(2)梯形法：恒稳2.数值算法的选择原则Matlab提供了微分方程数值求解的
7、一般方法,作为仿真算法的使用者,可不必考虑算法具体实现,而应关心各种方法在使用中会出现的问题,以及如何在仿真中恰当的选用这些方法.一般,选用数值算法从以下几个方面考虑:(1)精度受算法和h影响截断误差+舍入误差=累计误差(2)计算速度受算法和h影响算法简单，速度就快些。(3)稳定性受h影响，一般h≤（2-3）τ系统最小时间4.3数值算法中的“病态”问题1“病态”常微分方程例：其中采用四阶龙格库塔法h=0.01时，计算时间长h=0.04时，误差很大当h>0.05后，曲线发散振荡，数值不稳定，完全失去意义系统矩阵的特征值差异较大一般线性常微分
