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1、10.4稳定性与Liyaponov方法1、理解Liyaponov稳定性的定义；10.4.1Liyaponov关于稳定性的定义1.系统的平衡状态设初始条件（t0,x0）的唯一解为：称为从初始条件（t0,x0）出发的运动轨迹（运动、状态轨线）。的xe,称为系统的平衡状态。2、掌握稳定性的判定方法。要求：满足例其平衡点为结论：①非线性系统的平衡点可能不唯一，也可能无。②任何一个平衡状态可以通过坐标平移至坐标原点xe=0处。12.关于稳定性的几个定义定义称为欧几里德范数即x与xe的距离。1)Liyaponov意义下的稳定称平衡状态xe为Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。2)渐
2、近稳定xe稳定且从初始状态出发的状态轨线收敛于xe。3)大范围渐近稳定对所有的初始状态x0都渐近稳定。4)不稳定由s(δ)内出发的状态轨线至少有一根会越过s(ε)，称xe不稳定结论：①x(t)有界，xe稳定； ②x(t)有界且→0，xe渐近稳定； ③x(t)无界，xe不稳定；210.4.2Liyaponov第一法线性定常（时不变）系统的稳定判据系统在平衡状态xe=0渐近稳定的充分必要条件是A的所有特征值全部具有负实部，为内部稳定性。若系统对于有界输入，所引起的输出有界，则称系统为输出稳定。输出稳定的充要条件是W(s)=C(SI-A)-1b的极点全部位于s的左半平面。例1判定系
3、统的状态稳定性和输出稳定性。解：由得故系统平衡状态不是渐近稳定的。由s=-1位于s的左半平面，因而系统输出稳定。结论：只有系统无零、极点对消且系统的特征值与其极点相同时，系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致。310.4.3Liaponov第二法基本思想：构造虚拟广义的能量函数V(x)以此判定系统的稳定性。适用范围：不能用传统方法判定系统的稳定性的情况下。定义V(0)=0的V(x)为Liaponov函数，亦称能量函数，是标量函数。1.V(x)的符号性质正定：半正定：负定：半负定：不定：V(x)>0V(x))≥0V(x)<0V(x)≤0V(x)>0或V(x)<0。例对于x=[x1
4、x2x3]T,V(x)=x12+x22+x32V(x)=(x1+x2)2+x32V(x)=x12+x222.二次型标量函数正定半正定半正定4④各主子行列式的值均≤0，且
5、P
6、=0，P半负定。P为实对称阵，存在正交阵T，使当时，有称为二次标准型。V(x)正定的充要条件是P的特征值均大于0。P的符号性质：V(x)正定，P正定，记为P>0;3.希尔维斯特判据实对称阵P符号性质的充分必要条件是：①各主子行列式的值均大于0，P正定；②偶数阶和奇数阶主子行列式的值分别大于0和小于0，P负定；③各主子行列式的值均≥0，且
7、P
8、=0，P半正定；V(x)负定，P负定，记为P<0;V(x)半正定
9、，P半正定，记为P≥0;V(x)半负定，P半负定，记为P≤0。行列式的值为1，逆阵和转置阵相等。54.Liaponov稳定性判据的平衡状态为xe=0,有V(x)满足：①对x有连续一阶偏导；②V(x)正定。则①②为半负定，但对任意的x(t0)≠0除x=0外的其它x，也渐近稳定；③注意：①不能说找不到Liaponov函数V(x)，就作出否定的结论。例1判定设为负定，则渐近稳定；为正定，不稳定。为半负定，则稳定。不恒为0，更进一步，
10、
11、x
12、
13、→∞，有V(x)→∞，则为大范围渐近稳定。的稳定性。②平衡状态必须是坐标原点即xe=0，否则须坐标平移。6解：xe=0设,易知其正定，则故系统
14、渐近稳定。且当
15、
16、x
17、
18、→∞时，有V(x)→∞，所以为大范围渐近稳定。例2判定的稳定性。解：xe=0设易知其正定，则半负定。负定，若，必有x2=0,由于，因此必然x1=0，只在平衡点才为0，其余不为0，故系统是渐近稳定的。亦即且当
19、
20、x
21、
22、→∞时，有V(x)→∞，所以为大范围渐近稳定。7例3确定平衡状态大范围渐近稳定的条件。解：由设,易知其正定，则故系统平衡状态渐近稳定。且当
23、
24、x
25、
26、→∞时，有V(x)→∞，所以该系统大范围渐近稳定，条件是a>0。当a>0时半负定。可得xe=0。若，必有x2=0,由于，因此必然x1=0，亦即不恒为0,例4确定平衡状态的稳定性。解：由状态方程可
27、得，平衡状态非坐标原点。设即，则状态方程变为：8Liaponov函数的说明2、必须是应用于稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导；1、构造Liaponov函数没有确定的方法，要求有一定的技巧，一般用于非线性系统或时变系统的稳定性判定；3、非唯一但不影响结论的正确性；4、最简单的形式为二次型。作业：P66610.39、10.43设,易知其正定，则且当，所以该系统大范围渐近稳定。半负定。若，必有，由于，因此必然，亦即不恒为0。易知其平衡状态为坐标原点。时，有课堂思考：确定平衡状态大范围渐近稳定的条件。95.
