2019年山东省青岛市李沧区中考数学二模试卷 解析版

《2019年山东省青岛市李沧区中考数学二模试卷 解析版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2019年山东省青岛市李沧区中考数学二模试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.1．（3分）下列四个数中，是负数的是（　　）A．|﹣2|B．（﹣2）2C．﹣D．2．（3分）如图，由五个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（　　）A．B．C．D．3．（3分）东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小婕从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（　　）A．B．C．D．4．（3分）下列各式计算正确的是（　　）A．（a5）2＝a7B．2x﹣2＝C．3a2•2a3＝6a6D．a8÷a2＝a65．（3分）某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，它们预赛的成绩各不相同，取前6名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（　　）A．方差B．极差C．中位数D．平均数6．（3分）如图△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（　　）A．B．C．2D．3 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）8．（3分）一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）A．B．C． D．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）计算：＝　　．10．（3分）五一假期，青岛市天气风和日暖，适宜出游假日期间，全市共接待游客总人数797.23万人次，实现游客消费116.95亿元，旅游收入再创历史新高，未发生重大投诉和安全责任事故，实现了“安全、秩序、质量、效益、文明”五统一．将116.95亿用科学记数法可表示为　　．11．（3分）如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　　．12．（3分）为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意，可列方程为　　．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，扇形EBC的圆心角为90°，则阴影部分的面积为　　． 14．（3分）一个正方体木块，棱长是15厘米，从它的八个顶点处各截去棱长分别为1，2，3，4，5，6，7，8厘米的小正方体，这个木块剩下部分的表面积最少是　　平方厘米．三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）15．（4分）已知：点A，B位于直线m的两侧，在直线m上求作点P，使|PA﹣PB|的值最大．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）（1）解不等式组：（2）化简：17．（6分）为了给游客提供更好的服务，某景区随机对部分游客进行了关于“景区服务工作满意度”的调查，并根据调查结果绘制成如图不完整的统计图表．满意度人数所占百分比非常满意1210%满意54m比较满意n40%不满意65%根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的总人数为　　，表中m的值　　； （2）请补全条形统计图；（3）据统计，该景区平均每天接待游客约3600人，若将“非常满意”和“满意”作为游客对景区服务工作的肯定，请你估计该景区服务工作平均每天得到多少名游客的肯定．18．（6分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是　　．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．19．（6分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．20．（8分）如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（2，2）、B（，n）．（1）求这两个函数解析式；（2）直接写出不等式y2＞1y的解集． 21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于F点，连接BP．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若BC＝AB，判断△ABP的形状，并证明你的结论．22．（10分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示（图②是备用图），如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．（1）求C1和C2的解析式；（2）如果炒菜锅时的水位高度是1dm，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．23．（10分）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2∴（a+b）2＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，由此可得：13+23＝（1+2）2＝32尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：13+23+33＝　　（要求自己构造图形并写出推证过程）类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝　　（要求直接写出结论，不必写出解题过程）实际应用：图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：4×4×4＝43个，棱长是2的正方体有：3×3×3＝33个，棱长是3的正方体有：2×2×2＝23个， 棱长是4的正方体有：1×1×l＝13个，然后利用（3）类比归纳的结论，可得：　　＝　　图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有　　个．逆向应用：如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有44100个，那么棱长为1的小正方体一共有　　个．24．（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm，动点P从点B开始沿BC边匀速运动，动点Q从点D开始沿对角线DB匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s，过点Q作QE⊥CD，与CD交于点E，连接PQ，点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s），0＜t≤5．（1）当PQ∥CD时，求t的值；（2）设四边形PQEC的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）当P，Q两点运动到使∠PQE＝60°时，求四边形PQEC的面积； （4）是否存在某一时刻t，使PQ+QE的值最小？若存在，请求t的值，并求出此时PQ+QE的值；若不存在，请说明理由． 2019年山东省青岛市李沧区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.1．（3分）下列四个数中，是负数的是（　　）A．|﹣2|B．（﹣2）2C．﹣D．【分析】根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、|﹣2|＝2，是正数，故本选项错误；B、（﹣2）2＝4，是正数，故本选项错误；C、﹣＜0，是负数，故本选项正确；D、＝＝2，是正数，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了实数的运用，主要利用了绝对值的性质，有理数的乘方，以及算术平方根的定义，先化简是判断正、负数的关键．2．（3分）如图，由五个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（　　）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得一行正方形的个数为3，故选D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（3分）东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小婕从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（　　）A．B．C．D． 【分析】直接根据概率公式即可得出结论．【解答】解：∵共设有20道试题，创新能力试题4道，∴他选中创新能力试题的概率＝＝．故选：A．【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．4．（3分）下列各式计算正确的是（　　）A．（a5）2＝a7B．2x﹣2＝C．3a2•2a3＝6a6D．a8÷a2＝a6【分析】根据负整数指数幂、同底数乘除法、幂的乘方与积的乘方的知识进行解答．【解答】解：A、选项属于幂的乘方，法则为：底数不变，指数相乘．（a5）2＝a5×2＝a10，错误；B、2x﹣2中2是系数，只能在分子，错误；C、选项是两个单项式相乘，法则为：系数，相同字母分别相乘．3a2•2a3＝（3×2）•（a2•a3）＝6a5，错误；D、选项属于同底数幂的除法，法则为：底数不变，指数相减a8÷a2＝a8﹣2＝a6．故选：D．【点评】幂的乘方，单项式与单项式相乘，同底数幂的乘法和除法，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．5．（3分）某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑，它们预赛的成绩各不相同，取前6名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（　　）A．方差B．极差C．中位数D．平均数【分析】由于比赛取前6名参加决赛，共有13名选手参加，根据中位数的意义分析即可．【解答】解：13个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．故选：C．【点评】本题考查了方差和标准差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 6．（3分）如图△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（　　）A．B．C．2D．3【分析】在直角三角形BCM中，根据60°的正切函数以及MB的长度，求出BC的长，然后根据AB为直径且AB与BC垂直，得到BC为圆O的切线，又因为CD也为圆O的切线，根据切线长定理得到切线长CD与BC相等，即可得到CD的长．【解答】解：在直角△BCM中，tan60°＝＝，得到BC＝＝2，∵AB为圆O的直径，且AB⊥BC，∴BC为圆O的切线，又CD也为圆O的切线，∴CD＝BC＝2．故选：C．【点评】此题考查学生灵活运用三角函数解直角三角形，掌握圆外一点引圆的两条切线，切线长相等的应用，是一道中档题．7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3） 【分析】先求得直线AB解析式为y＝x﹣1，即可得出P（0，﹣1），再根据点A与点A'关于点P成中心对称，利用中点公式，即可得到点A′的坐标．【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴A（4，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，∴P（0，﹣1），又∵点A与点A'关于点P成中心对称，∴点P为AA'的中点，设A'（m，n），则＝0，＝﹣1，∴m＝﹣4，n＝﹣5，∴A'（﹣4，﹣5），故选：A．【点评】本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键．8．（3分）一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的大致图象是（　　） A．B．C．D．【分析】先由一次函数的图象确定a、b的正负，再根据a﹣b判断双曲线所在的象限．能统一的是正确的，矛盾的是错误的．【解答】解：图A、B直线y＝ax+b经过第一、二、三象限，∴a＞0、b＞0，∵y＝0时，x＝﹣，即直线y＝ax+b与x轴的交点为（﹣，0）由图A、B的直线和x轴的交点知：﹣＞﹣1，即b＜a，所以b﹣a＜0 ∴a﹣b＞0，此时双曲线在第一、三象限．故选项B不成立，选项A正确．图C、D直线y＝ax+b经过第二、一、四象限，∴a＜0，b＞0，此时a﹣b＜0，双曲线位于第二、四象限，故选项C、D均不成立；故选：A．【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的性质．解决本题用排除法比较方便．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）计算：＝　2　．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2×﹣1＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．10．（3分）五一假期，青岛市天气风和日暖，适宜出游假日期间，全市共接待游客总人数797.23万人次，实现游客消费116.95亿元，旅游收入再创历史新高，未发生重大投诉和安全责任事故，实现了“安全、秩序、质量、效益、文明”五统一．将116.95亿用科学记数法可表示为　1.1695×1010　．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将116.95亿用科学记数法表示为1.1695×1010．故答案是：1.1695×1010．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．（3分）如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　5π　． 【分析】根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧，根据弧长公式求出弧长即可．【解答】解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：×2π×5+×2π×5＝5π，故答案为：5π．【点评】本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度．12．（3分）为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意，可列方程为　＝4×　．【分析】首先设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意可得等量关系：骑公共自行车方式所用的时间＝自驾车方式所用的时间×4，根据等量关系，列出方程．【解答】解：设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意列方程得：＝4×，故答案是：＝4×． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，扇形EBC的圆心角为90°，则阴影部分的面积为　3π+18﹣9　．【分析】连接BF，解直角三角形得到∠CBF＝30°，根据扇形的面积公式和三角形的内角公式即可得到结论．【解答】解：如图，连接BF，则，BF＝BC＝AD＝6，∵∠BAF＝90°，AB＝3，∴∠ABF＝60°，∴∠CBF＝30°，∴阴影部分的面积＝+3×6﹣2×（×3×3+）＝3π+18﹣9，故答案为：3π+18﹣9．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．14．（3分）一个正方体木块，棱长是15厘米，从它的八个顶点处各截去棱长分别为1，2，3，4，5，6，7，8厘米的小正方体，这个木块剩下部分的表面积最少是　1252　平方厘米． 【分析】一般情况下，正方体八个顶点截取小正方体，表面积不会变．但当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，表面积就会有变化，少掉2个边长为7的正方形的面积．至于其它6个顶点不可能割穿，所以不用考虑．因此要求“至少”，就是截取的棱长为8和7的小正方体相邻的情况．【解答】解：15×15×6﹣7×7×2＝1350﹣98＝1252．答：这个木块剩下部分的表面积最少是1252平方厘米．【点评】本题考查了截一个几何体的知识，此题解答的关键在于注意考虑当截取的棱长为8和7的小正方体相邻时，剩下部分的表面积最少．三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）15．（4分）已知：点A，B位于直线m的两侧，在直线m上求作点P，使|PA﹣PB|的值最大．【分析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA＝PA′，因而|PA﹣PB|＝|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．点P即为所求．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）（1）解不等式组： （2）化简：【分析】（1）根据解不等式组的方法可以解答本题；（2）根据分式的除法和加法可以解答本题．【解答】解：（1），由不等式①，得x≥﹣2，由不等式②，得x＜，故原不等式组的解集是﹣2≤x＜；（2）＝＝＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．17．（6分）为了给游客提供更好的服务，某景区随机对部分游客进行了关于“景区服务工作满意度”的调查，并根据调查结果绘制成如图不完整的统计图表．满意度人数所占百分比非常满意1210%满意54m比较满意n40%不满意65% 根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的总人数为　120　，表中m的值　45%　；（2）请补全条形统计图；（3）据统计，该景区平均每天接待游客约3600人，若将“非常满意”和“满意”作为游客对景区服务工作的肯定，请你估计该景区服务工作平均每天得到多少名游客的肯定．【分析】（1）利用12÷10%＝120，即可得到m的值；用120×40%即可得到n的值．（2）根据n的值即可补全条形统计图；（3）根据用样本估计总体，3600××100%，即可答．【解答】解：（1）12÷10%＝120，故m＝120，n＝120×40%＝48，m＝＝45%．故答案为120，45%．（2）根据n＝48，画出条形图：（3）3600××100%＝1980（人），答：估计该景区服务工作平均每天得到1980名游客的肯定． 【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图等知识，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．18．（6分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是　　．（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．【解答】解：（1）选择A通道通过的概率＝，故答案为：；（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．19．（6分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73． 【分析】根据题意和图形，利用特殊角的三角函数可以求得AM的长，从而可以求得AB的长，本题得以解决．【解答】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6m，HF＝GE＝8m，MF＝BE，HN＝GD，MN＝BD＝24m，设AM＝xm，则CN＝xm，在Rt△AFM中，MF＝，在Rt△CNH中，HN＝，∴HF＝MF+HN﹣MN＝x+x﹣24，即8＝x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB＝11.7+1.6＝13.3m，答：教学楼AB的高度AB长约为13.3m．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．20．（8分）如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（2，2）、B（，n）．（1）求这两个函数解析式；（2）直接写出不等式y2＞1y的解集． 【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）根据图象和交点坐标找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可．【解答】解：（1）将A（2，2）代入反比例解析式得：k＝2×2＝4，则反比例解析式为y1＝；将B（，n）代入反比例解析式得：n＝8，即B（，8），将A与B坐标代y2＝ax+b中，得：，解得：．则一次函数解析式为2y＝﹣4x+10；（2）由图象得：不等式y2＞y1的解集为＜x＜2或x＜0．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于F点，连接BP．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若BC＝AB，判断△ABP的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）由折叠的性质得到BE＝PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE＝EB＝PE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；（2）由（1）可得△APB是直角三角形．【解答】解：（1）由折叠得到BE＝PE，EC⊥PB，∵E为AB的中点，∴AE＝EB＝PE，∴AP⊥BP，且EC⊥PB，∴AF∥EC，∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC，且AF∥EC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）由（1）可知AP⊥BP∴△APB是直角三角形【点评】此题考查了翻折变换、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．22．（10分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示（图②是备用图），如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2． （1）求C1和C2的解析式；（2）如果炒菜锅时的水位高度是1dm，求此时水面的直径；（3）如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．【分析】（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式；（2）炒菜锅里的水位高度为1dm即y＝﹣2，列方程求得x的值即可得答案；（3）底面直径为3dm、高度为3dm圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当x＝时，C1和C2中的y值的差与3比较大小，从而可得答案．【解答】解：（1）由于抛物线C1、C2都过点A（﹣3，0）、B（3，0），可设它们的解析式为：y＝a（x﹣3）（x+3）；抛物线C1还经过D（0，﹣3），则有：﹣3＝a（0﹣3）（0+3），解得：a＝即：抛物线C1：y＝x2﹣3（﹣3≤x≤3）；抛物线C2还经过C（0，1），则有：1＝a（0﹣3）（0+3），解得：a＝﹣即：抛物线C2：y＝﹣x2+1（﹣3≤x≤3）．（2）当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y＝﹣2，即x2﹣3＝﹣2，解得：x＝±，∴此时水面的直径为2dm．（3）锅盖能正常盖上，理由如下： 当x＝时，抛物线C1：y＝×（）2﹣3＝﹣，抛物线C2：y＝﹣×（）2+1＝，而﹣（﹣）＝3，∴锅盖能正常盖上．【点评】本题主要考查待定系数求函数解析式与二次函数的实际应用，解题的关键在于将实际问题转化为二次函数问题求解．23．（10分）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2∴（a+b）2＝a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，由此可得：13+23＝（1+2）2＝32尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：13+23+33＝　（1+2+3）2　（要求自己构造图形并写出推证过程）类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝　（1+2+3+…+n）2　（要求直接写出结论，不必写出解题过程）实际应用： 图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：4×4×4＝43个，棱长是2的正方体有：3×3×3＝33个，棱长是3的正方体有：2×2×2＝23个，棱长是4的正方体有：1×1×l＝13个，然后利用（3）类比归纳的结论，可得：　13+23+33+43　＝　（1+2+3+4）2　图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有　100　个．逆向应用：如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有44100个，那么棱长为1的小正方体一共有　8000　个．【分析】根据规律可以利用相同的方法进行探究推证，由于是探究13+23+33＝？肯定构成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证．实际应用：根据规律求大正方体中含有多少个正方体，可以转化为13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2来求得．逆向应用：可将总个数看成m2，然后再写成＝（1+2+3+…+n）2得出大正方形每条边上有几个棱长为1的小正方体，进而计算出棱长为1的小正方体的个数．【解答】解：如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13； B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此B、C、D就可以拼成2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；G与H、E与F和可以拼成3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33；而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，因此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62．故答案为：（1+2+3）2或62．根据规律可得：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2．依据规律得：13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝102＝100．故答案为：13+23+33+43＝（1+2+3+4）2100∵44100＝2102＝（1+2+3+…+n）2∴n＝20∴20×20×20＝8000故答案为8000．【点评】此题是用几何直观推导13+23+33+…+n3的计算过程，通过几何图形之间的数量关系做出几何解释，得出规律，然后应用解决问题．采用归纳推理，由易到难，逐步得出结论．24．（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm，动点P从点B开始沿BC边匀速运动，动点Q从点D开始沿对角线DB匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s，过点Q作QE⊥CD，与CD交于点E，连接PQ，点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s），0＜t≤5． （1）当PQ∥CD时，求t的值；（2）设四边形PQEC的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）当P，Q两点运动到使∠PQE＝60°时，求四边形PQEC的面积；（4）是否存在某一时刻t，使PQ+QE的值最小？若存在，请求t的值，并求出此时PQ+QE的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得：，代入计算可得t的值；（2）先根据三角函数表示PH和EQ、DE的长，根据面积差表示S与t之间的函数关系式；（3）如图2，作辅助线，构建相似三角形和60度的直角三角形，根据平行线分线段成比例定理列式为：，可得MQ＝BM＝，证明△QMP∽△FCP，计算FC的长，根据FE＝QE，列方程可得t的值，代入（2）中S与t的关系式可得结论；（4）过Q作QF⊥AD于F，当P、Q、F三点共线时，PQ+QE的值最小，最小值就是菱形的高线PF．【解答】解：（1）由题意得：PB＝DQ＝t，∵BD＝8，∴BQ＝8﹣t，当PQ∥CD时，，∴，t＝；（2）如图1，过P作PH⊥BD于H，连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝∠COD＝90°，∵AB＝BC＝CD＝5，OB＝OD＝BD＝4，∴OC＝3，∴sin∠HBP＝＝，∵PB＝t，∴PH＝t，同理得EQ＝t，DE＝t，∴S＝S△BCD﹣S△BPQ﹣S△DEQ＝﹣＝t+12；（3）如图2，过Q作QM∥CD，交BC于M，延长QP与EC交于点F，∴，即， ∴MQ＝BM＝，∴MP＝t﹣＝t﹣5，∵MQ∥FC，∴△QMP∽△FCP，∴，即＝，FC＝，Rt△FQE中，∵∠PQE＝60°，∴FE＝QE，∴+5﹣t＝t，t＝，由（2）知：四边形PQEC的面积＝t+12＝（t﹣20）2﹣12，∴四边形PQEC的面积＝（﹣20）2﹣12＝；（可以过P作CD的平行线）；（4）存在，如图4，过Q作QF⊥AD于F，∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∵QE⊥CD，∴QE＝QF，∴当P、Q、F三点共线时，PQ+QE的值最小，∵AD∥BC， ∴PF⊥BC，S菱形ABCD＝PF•BC＝，PF＝，∵PF＝PQ+FQ＝PQ+EQ＝t+t＝，t＝；∴存在，当t＝s时，使PQ+QE的值最小，最小值是．【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、解一元二次方程、菱形的面积公式等知识，在解决问题的过程中，用到了数形结合的数学思想方法，应熟练掌握．本题计算量大，要细心．