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1、完备非紧黎曼流形上扰动的P--Laplace方程解的Liouville--型定理中国科孽艘求犬誊硕士学位论又完备非紧黎曼流形上扰动的.方程解的.型定理作者姓名:陈曦基础数学学科专业:导师姓名:张希教授/完成:■一三年五月∽辱』燃螋’.’:::.:.中国科学技术大学学位论文原创性声明本人声明所呈交的学位论文,是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的刊志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。作者签
2、名:签字日期:型塑弛盥卜中国科学技术大学学位论文授权使用声明作为申请学位的条件之一,学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权,即:学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅,可以将学位论文编入《中国学位论文全文数据库》等有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。保密的学位论文在解密后也遵守此规定。囡公开口保密??年作者签名:盟导师签名:乙丝车签字眺班峄蹲
3、签字吼巡掣华目录目录目录??.摘要??.?.......?......?.............?................第章绪论??..研究背景.?..?..本文的主要工作............?..?..?.?.................主定理的另解.本文的结构安排.........................................?第章准备工作?.加权范数的定义..?.?.预备引理?...?第章主要定理及其证明...加权平均值不等式...不等式....扰动的?
4、方程的一型定理参考文献致谢摘要摘要本文在完备非紧的光滑度量测度空问,,,.。中,研究扰动的?方程.我们利用加权不等式及加权不等式,在一定条什下,得到满足下列微分不等式~一钆,“,≤的函数的加权平均值不等式和不等式.作为应用,我们得到关于扰动的方程解的型定理.关键词:定理;不等式;迭代;加权不等式;加权不等式,?.,一,矗%.,,¨:一一扎一,≤一?.,??.;:;;;第章绪论第章绪论.研究背景在古典分析中,强或弱定理是札中每个非负或有界调和函数一定是常数.自从上世纪七十年代中期,定理已经在完备非紧
5、流形上被广泛地研究【】.在年,丘成桐【】证明了∞.强或弱定理,即若是伴有非负曲率的完备流形,于是每个上的正或有界调和函数一定是常数.在年,丘成桐【证明了任意完备非紧流形上,对于任意。,没有非负的一亚调和函数和.调和函数.为了证明。一定理,丘成桐】发现了完备流形上梯度估计的方法,并证明若是有一詹作为下界的曲率的完备流形,即一詹,其中角是一个常数.那么每个有下界的调和函数满足下列梯度估计≤厕炉,¨令艮,此梯度估计暗示了丘成桐的。一定理.另‘个方法证明∞.定理是利用椭网不等式或抛物不等式.通过独市的工作
6、,由.’年.】,还可见】.后者等价于双重体积性质和测地球上的一系列局部不等式,即若肪西是完备流形,它拟同构于伴有非负曲率的完备流形,于是得到雪上的。一定理.因为.一.的重要工作,.和.】在伴有两负常数间的截面曲率的?流形上的止值或有界的调和函数的存在性的研究中得出,一定理在这类流形上并不成立,同样可见和,,和】,和】,,】,更进一步,.】构造两个拟刊构完备流形,通过构造.他证明在‘般的测度下,∞一性质,并不总是成:立..本文的主要工作本文的主要工作是在完备非紧的光滑度量测度空间,夕,%下,取第亭绪
7、论上的能量函数,,是有界光滑函数,那么可定义局部的糸拟儿坦仉左肜刖五./:,肌√一,,其卜方程满足若面。面:。;厶叫下式:冲一≈札,为了证明完备非紧流形下扰动的方程的一型定理.采用背景中所提到的不等式,张希,.,.,.和.】,具体步骤如下,首先,要利用加权的不等式和条件扎一仳,≥一一其中≥.南上可得出加权平均值不等式,再附上体积比较定理和加权不等式,灵活运用迭代和适当选取截断函数,可得到不等式:定理.设是一个完备非紧黎曼流形,,是上光滑有界函数,假设对任意测地球满足下列不等式:【】体积比较条件对
8、于任意,存在一个常数叩,使得,?玩三加权不等式对于任意和∈玩,于是存在一个常数,使得.,?,。:../阢其中。圭崭.耄不等式对任意的咖∈/,。,,存在一个常数,使得一。,;,.厶。。一,≠与一‘,与≤。’,‘,,一,『.厶。。一其中常数,,。’代表测地球。’的体积.假设//∈玩月是’‘个下有界的函数,满足‘一一一,≤:一第章绪论其中常数,于是对于充分小的,一定存在一个常数,口,肛,,:≤?日。鑫于是,可以推出下而.型定理:定理.设是一个完备非紧黎曼流形,.厂是上的光滑有界函数,假设
