新辅助方程法构造_2_1_维修正的色散水波方程组的新精确解

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1、第４１卷第１期内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）Ｖｏｌ．４１Ｎｏ．１２０１２年１月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｊａｎ．２０１２新辅助方程法构造（２＋１）维修正的色散水波方程组的新精确解包志兰，套格图桑（内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特０１００２２）摘要：利用辅助方程法的构造性和机械化性特点，引入一种新的辅助方程，给出该方程的几种由双曲函数、三角函数和有理函数通过不同形式复合而成的精确解．以（２＋１）维修正的色散水波方程组为例，借助符号

2、计算系统Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ，在行波变换下获得了该方程的新的复合型精确解．关键词：辅助方程法；（２＋１）维修正的色散水波方程组；复合型精确解中图分类号：Ｏ１７５．２９文献标志码：Ａ文章编号：１００１－－８７３５（２０１２）０１－－００３０－－０４在孤子理论中，构造非线性发展方程（组）的精确解占有重要地位．目前，人们已经提出许多求解非线性［１－１０］发展方程（组）的方法，如双曲正切函数展开法、齐次平衡法、辅助方程法等，其中辅助方程法在构造非线性发展方程精确解方面发挥了非常重要的作用．文献［１］总结了辅助方程法的构造性和机械化性特点，获得了

3、Ｒｉｃｃａｔｉ方程的Ｂｃｋｌｕｎｄ变换和解的非线性叠加公式，给出的方法对于构造非线性发展方程的新精确解具有普遍意义．受文献［２］的启发，本文利用辅助方程法的构造性特点，引入一种新的辅助方程，获得了该方程的几种复合型解；利用辅助方程法的机械化性特点，以（２＋１）维修正的色散水波方程组为例，在行波变换下构造了新的复合型精确解．１新辅助方程及其解新辅助方程为（３）Ｇ（ξ）＝ａＧ″（ξ）＋ｂＧ′（ξ）＋ｃＧ（ξ），（１）２３ｄＧ（ξ）ｄＧ（ξ）（３）ｄＧ（ξ）其中ａ，ｂ，ｃ为任意常数，Ｇ′（ξ）＝，Ｇ″（ξ）＝２，Ｇ（ξ）＝３．设新辅助方程（１

4、）的特征方程为ｄξｄξｄξ３２λ－ａλ－ｂλ－ｃ＝０，（２）其３个根分别为λ１，λ２，λ３，则λ１，λ２，λ３，ａ，ｂ，ｃ满足ａ＝λ１＋λ２＋λ３，ｂ＝－（λ１λ２＋λ１λ３＋λ２λ３），ｃ＝λ１λ２λ３．（３）下面分４种情况讨论方程（１）的解．（Ⅰ）当λ，即方程（２）有３个相等的根时，方程（１）的解为１＝λ２＝λ３２λＧ（ξ）＝（ｃ１＋ｃ２ξ＋ｃ３ξ）ｅ１ξ，（４）其中λ，λ，λ，ａ，ｂ，ｃ满足ａ＝λ，ｂ＝－（λ）＝－３λ２，ｃ＝λ３１２３１＋λ２＋λ３＝３λ１１λ２＋λ１λ３＋λ２λ３１１λ２λ３＝λ１．（Ⅱ）当λ，即方程（２）有两个

5、相等的实根时，方程（１）的解为１＝λ２≠λ３λλＧ（ξ）＝（ｃ１＋ｃ２ξ）ｅ１ξ＋ｃ３ｅ３ξ，（５）其中λ，λ，λ，ａ，ｂ，ｃ满足ａ＝λ，ｂ＝－（λ）＝－λ２１２３１＋λ２＋λ３＝２λ１＋λ３１λ２＋λ１λ３＋λ２λ３１－２λ１λ３，ｃ＝λ１λ２λ３２＝λ１λ３．收稿日期：２０１１－０９－０８基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０７６１００５）；内蒙古自然科学基金资助项目（２０１０ＭＳ０１１１）；内蒙古高等学校科学研究项目（ＮＪＺＺ０７０３１）；内蒙古师范大学自然科学基金项目（ＱＮ００５０２３）作者简介：包志兰（１９８６－），女（蒙古族

6、），内蒙古通辽市人，内蒙古师范大学硕士研究生通信作者：套格图桑（１９６４－），男（蒙古族），内蒙古通辽市人，内蒙古师范大学副教授，博士，主要从事孤立子与可积系统理论及其应用研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｔｇｔｓ＠ｉｍｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．第１期包志兰等：新辅助方程法构造（２＋１）维修正的色散水波方程组的新精确解·３１·（Ⅲ）当方程（２）有３个不同的实根λ１，λ２，λ３时，方程（１）的解为λλλＧ（ξ）＝ｃ１ｅ１ξ＋ｃ２ｅ２ξ＋ｃ３ｅ３ξ，（６）其中λ１，λ２，λ３，ａ，ｂ，ｃ满足ａ＝λ１＋λ２＋λ３，ｂ＝－λ１λ２－λ１λ３－λ２λ３，ｃ＝λ１λ２λ

7、３．（Ⅳ）当方程（２）有两个共轭复根，即λ１＝α＋ｉβ，λ２＝λ１＝α－ｉβ，λ３时，方程（１）的解为αξλＧ（ξ）＝［ｃ１ｃｏｓ（βξ）＋ｃ２ｓｉｎ（βξ）］ｅ＋ｃ３ｅ３ξ，（７）其中λ，λ，λ，ａ，ｂ，ｃ满足ａ＝λ，ｂ＝－（λ）＝－α２２１２３１＋λ２＋λ３＝２α＋λ３１λ２＋λ１λ３＋λ２λ３－β－２αλ３，ｃ＝λ１λ２λ３２２）λ＝（α＋β３．２（２＋１）维修正的色散水波方程组的新精确解对于给定的非线性发展方程（组）Ｈ（ｕ，ｕｘ，ｕｙ，ｕｔ，ｕｘｘ，ｕｘｙ，ｕｘｔ，ｕｙｙ，ｕｙｔ，ｕｔｔ，…）＝０，（８）假设方程（８）解的形式为ｕ

8、（ｘ，ｙ，ｔ）＝ｆ１（ｘ，ｙ，ｔ）＋ｆ２（ｘ，ｙ，ｔ）Ｇ（ξ）＋ｆ３（ｘ，ｙ，ｔ）Ｇ′（ξ）＋ｆ４（ｘ，ｙ，ｔ）Ｇ″（ξ），（９）其中：ξ＝ξ（ｘ，ｙ，ｔ）；ｆ１（ｘ，ｙ，ｔ），ｆ２（ｘ，ｙ，