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《_2_1_维耗散长水波方程和broer_kaup方程的显示解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2011年5月吉林师范大学学报(自然科学版).2第2期JournalofJilinNormalUniversity(NaturalScienceEdition)May.2011(2+1)维耗散长水波方程和BroerKaup方程的显示解刘丽红(辽宁师范大学数学学院,辽宁大连116029)摘要:利用一个简单的变换将(2+1)维耗散长水波方程变为一个简单的方程,并且结合齐次平衡法给出了(2+1)维耗散长水波方程一些新的孤波解和BroerKaup方程的相似解,这一方法可应用于其他的方程.关键词:(2+1)维耗散长水波方程;BroerKaup方程;齐次平衡法;投影Ricca
2、ti方程法;(G/G)方法;Bcklund变换;相似解;孤波解中图分类号:O175文献标识码:A文章编号:16743873(2011)020060040引言非线性偏微分方程的精确求解一直是人们非常关注的问题.由于非线性偏微分方程没有统一的求解方法,一种方法通常不能得到各种类型的特解,因此人们相继提出许多行之有效的方法,如反散射法、Darboux变换法、Bcklund变换、齐次平衡法、双曲函数展开法等,其中齐次平衡法是处理非线性偏微分方程十分有效的方法,其基本思想是将非线性方程化为一组待定函数的偏微分方程,然后进一步线性化,以致可以方便地构造出非线性方
3、程的解.本文中我们首先讨论了(2+1)维耗散长水波方程的几种形式的孤波解,然后主要利用齐次平衡法研究了BroerKaup方程的精确解和相似解.[1]考虑(2+1)维耗散长水波方程ut-uxx-2(uv)x=0(1)2vty+vxxy-2uxx-(v)xy=0(2)[2]按照齐次平衡法的基本思想,可以设方程(1)和方程(2)具有如下形式解:u(x,y,t)=a[f()xy+f()xy]+u1(x,y,t)(3)v(x,y,t)=f()x+v1(x,y,t)(4)[3]其中,f(),(x,y,t),u1(x,y,t),v1(x,y,t)为待定函数,
4、0为待定常数,在简单的变换u=avy+u1(x,y,t)-av1(x,y,t)(5)之下由方程(1)和方程(2)可得a(vyt)-avxxy-u1xx+av1yxx+u1t-av1yt-2(avvy+u1v-avv1y)x=0(6)vty+vxxy-2avxxy-2u1xx+2av1xxy-2(vvy)x=0(7)如果a=1,u1=av1取那么(6)和(7)式可化为vt-vxx-2vxv=0(8)设v(x,y,t)=V(),=kx+ly+ct+d(9)其中k,l,c是待定常数,d为任意常数.将(9)式代入(8)式则(8)式变为2cV-kV-2kVV=0(10)收稿
5、日期:20110225作者简介:刘丽红(1987),女,吉林省双辽市人,硕士研究生.研究方向:孤立学理论与可积系统.60[4]1设方程(10)有解mmij-1V=aif()+f()g()i=0j=1式中f(),g()是下述双投影Riccati方程的非零解f()=-f()g()(11)2g()=1-g()-rf()(12)222g()=1-2rf()+(r-1)f()(13)1sinh其中f()=,g()=,=kx+ly+ct+d(14)cosh+rcosh+r利用齐次平衡法,可知m=1,从而V=a0+a1f+b
6、1g(15)将(15)式代入(10)式并利用(11)(12)(13)式可得ck2ka0=,a1=r-1,b1=2k222当r-1>0时,ck21ksinhV11=r-1+(16)2k2cosh+r2cosh+rk2-lsinhkl+rlcoshU11=r-12+2(17)2(cosh+r)2(cosh+r)2当r-1<0时ck21ksinhV12=1-ri+(18)2k2cosh+r2cosh+rk2-lsinhkl+rlcoshU12=1-ri2+2(19)2(cosh+r)2(cosh+r)[5]2设方程(10)有解nGiV=
7、ai()i=0GG由齐次平衡法,可知解为V=a0+a1,G满足G+G=0(20)G解得G=A1sinh-+A2cosh-将(20)式代入(10)式可得ca0=,a1=k,c=2k当<0时cA1cosh-+A2sinh-V21=+k-(21)2kA1sinh-+A2cosh-22A1+A2U21=-kl(22)2(A1sinh-+A2cosh-)当=0时A1V22=k(23)A1+A22-A1klU22=2(24)(A1+A2)当>0时cA1cos-A2sin
