二重积分的等价定义及应用

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1、第31卷第2期唐山师范学院学报2009年3月Vol.31No.2JournalofTangshanTeachersCollegeMar.2009二重积分的等价定义及应用宋泽成（唐山师范学院数学与信息科学系，河北唐山063000）摘要：通过分析和研究现行教材中二重积分的定义，对其做出了适当的改进，即在选取点i,j的任意性不变的情况下，将定义中的任意分割T改为特殊分割，得到了几种等价定义，并加以证明。关键词：二重积分；等价定义；分割；积分和中图分类号：O172.2文献标识码：A文章编号：1009-9115(2009)02-0042-04TheEqui

2、valentDefinitionandApplicationofDoubleIntegralSONGZe-cheng(DepartmentofMathematicsandInformationScience,TangshanTeachersCollege,TangshanHebei063000,China)Abstract:ThroughanalyzingandresearchingthedefinitionofthedoubleintegralinPresentteachingmaterial,thispapermadesomesuitableimpr

3、ovement.Inthesituationofselectingpointrandomlywithoutchanges,therandompartitionwaschangedtospecialpartitionandseveralkindsofequivalentdefinitionsofdoubleintegralareobtainedandproved.Keywords:doubleintegral;equivalentdefinition;divide;sumofintegral1预备知识1xy,都是有理数fx,y1.1现行教材中

4、二重积分的定义0xy,中至少有一个是无理数定义1设DR2为有界闭域，f是定义在D上的有证明fxy,在D上不可积。界函数，J是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某证明因为对D的任何分割T，在属于它的每一个小一个正数，使得对D上任意分割T，只要它的细度区域i上都含有坐标x，y都是有理数的点，同时也含有Tmax{d}（这里d是D的直径），对属于分割T至少有一个坐标是无理数的点，因此可以把D上的点分成iii的所有积分和都有以上两类。当介点全取D中的坐标x，y都是有理数的点时f(i,j)i,jJ。i,jfx,y

5、1，x,y；iii则称f(x,y)在D上可积，简称fx,y在D上R－可当介点取D中的坐标x，y至少有一个是无理数的点时积，J称为f在D上的二重积分。记作fx,yi0，x,yi。f(x,y)dxdyfJ或J。iDD所以，无论对于任何分割T，即使它的细度T小于任在定义中，既有分割T的不确定性，又有取值点i,j意正数，所得的积分和的极限也不存在。因此，fx,y在D的任意性，使积分值是一个相当复杂的和的极限。那么，能上不可积。否转化条件，减少不必要的变量而使定义简化呢？以下主要以上例子中对任何分割T，由于介

6、点的选取不同而导致研究这个问题。积分和的极限不存在，从而使函数不可积，这充分说明定义1.2选取点i,j的任意性是必要的中点的选取的任意性是不可改变的。例1设D0,10,1，函数fx,y定义在D上，且──────────收稿日期：2008-04-30作者简介：宋泽成（1964-），男，河北唐山人，唐山师范学院数学与信息科学系副教授，研究方向为函数论。-42-宋泽成：二重积分的等价定义及应用我们知道了点的选取任意性不可改变，那么，是否可以Tmaxdd',',,d'i1,2,,N12N去掉分割T的任意性的要求呢？答案是

7、肯定的。由此得出二这里di'是Di'的直径。重积分的一个简单定义。由(3)知，对任给的0，总存在20，当T22积分区域不变，取确定分割时，就有定义2设f是定义在有界闭域D上的有界函数，J是一个确定的数。若对任给正数，总存在某一正数，T是ii，iD上某一确定的分割，只要它的细度T，对于属于分即ii。i割T的所有积分和都有现将使(3)式成立的分割T的小区域固定，对任意分割limfii,iJ(1)T，取T0i且J的值与点i,i的选取无关，则称f在D上可积，简minT,，

8、称f在D上R－可积。N1当T时，可将分割T的小区域i'分成两类：一