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1、2008年2月系统工程理论与实践第2期文章编号:100026788(2008)0220010209跳扩散模型下永久美式看跌期权定价姜礼尚,罗俊(同济大学数学研究所,上海200092)摘要:目的是针对现有方法不能处理的价格“向下跳空”给出一般跳扩散模型下永久美式看跌期权定价公式以及最佳实施边界的显式表达式.“向下跳空”相比“向上跳空“的重要性在于,价格有可能从继续持有区域瞬时跳入停止实施区域,强烈影响到美式期权持有者的投资决策.文章强调跳量的概率密度函数p(y)是一般形式的,通过偏微分方程方法引入格林函数,给出永久美式看跌期权的价格,并通过自由边界条
2、件(smoothjunctioncondition)给出最佳实施边界的显式表达式.关键词:永久美式期权;跳扩散模型;向上跳空和向下跳空;最佳实施边界;自由边界一阶导数连续条件中图分类号:F8301572;F830191文献标志码:APricingperpetualoptionswithjumpdiffusionJIANGLi2shang,LuoJun(TongjiUniversity,Shanghai200092,China)Abstract:ThispapergivesthepricingoftheperpetualAmericanputopti
3、onsinjump2diffusionmodel.Wefocusonhowtodealwiththegeneraldownwardjumps.Thedownwardjumpsarequitedifferenttotheupwardjumpsbecausethestockpricemayjumpfromthecontinuationregionoftheoptiontothestoppingregioninstantly.Inourmodeltheprobabilitydensityfunctionofthejumpsizep(y)isgeneral
4、.AclosedseriesformulaofthepriceisgivenbyintroducingsomekindofGreenfunctionandtheoptimalexerciseboundaryoftheperpetualputoptionisgivenbythesmoothjunctioncondition.Keywords:perpetualoptions;jump2diffusionmodel;upwardanddownwardjumps;optimalexerciseboundary;smoothjunctionconditio
5、n1引言随着中国资本市场的深入发展,国内权证市场的交易目前已非常活跃,投资者对期权定价问题也越来越感兴趣,对期权定价的B2S公式也有了一定的了解.期权定价的B2S模型,其基本的假设是,基础资产(underlyingasset)———股票的价格过程为连续的.但在实际的金融市场上,股价经常由于消息面的影响而产生“跳空”———由于突发的利好产生“向上跳空”,由于突发的利空而产生“向下跳空”.在考虑股价的这种不连续跳动的情况下,应该如何对相应的衍生产品———期权进行定价呢?尤其是对美式期权,股价的这种跳空将对最佳实施边界产生何种影响?我们考虑永久美式看跌期
6、权的定价问题.永久美式期权是一种没有终止期,在生效后任何时间都可以实施的美式期权,因此它是最贵的美式期权,其价格与时间无关,因为它包含了所有具有终止期的美式期权的获利机会.存在股价的某个价格———最佳实施边界,当股价大于最佳实施边界时,期权的市场价格大于实施的收益,期权持有人应继续持有期权,这个股价区域称为美式期权的继续持有区域;而当股价低于这个最佳实施边界的时候,期权价格即等于实施收益,应立即行权,不宜再继续持有,这个股价区域则称为美式期权的停止实施区域.可见,最佳实施边界对美式期权持有人的投资决策具有决定性的影响.考虑概率空间{Ω,F,P}上由
7、一支股票St和无风险债券Bt组成的金融市场模型.无风险债券Bt满足收稿日期:2007205222第2期跳扩散模型下永久美式看跌期权定价11dBt=rBt,常数r>0是无风险利率.假设股票价格过程St服从跳扩散过程NtdSt=μdt+σdWt+d∑Zj,Zj∈(-1,∞),(1.1)Stj=1常数μ,σ分别为期望回报率和波动率,(Wt)t≥0为标准布朗运动,(Nt)t≥0为强度为λ的泊松过程,Zj∈(-1,∞),j=1,2,⋯为独立同分布的随机变量序列,概率密度为p(y),y∈(-1,∞).假设(Wt)t≥0,(Nt)t≥0和Zj相互独立.复合泊松过
8、程反映了股价的随机跳空.因为这个市场是不完全的,因此风险中性等价鞅测度不是唯一的.如果假设Q=P,则μ=r-λk,其+中k
