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1、矩阵论试题(2011级硕士试题)一、(10分)设函数矩阵sintcostAtcostsint2tt求:Atdt和(Atdt)'。00ttt0sintdt0costdt1costsint解:0Atdt=tt=costdtsintdtsint1cost00222t2sintcost(Atdt)'=At2t2t220costsint二、(15分)在3R中线性变换将基10111,22,3
2、0111100变为基11,21,33012(1)求在基,,下的矩阵表示A;123T(2)求向量1,2,3及在基,,下的坐标;123T(3)求向量1,2,3及在基,,下的坐标。123解:(1)不难求得:111222123233123因此在,,下矩阵表示为123111A112011k1
3、(2)设1,2,3k2,即k31101k12120k23111k3解之得:k10,k4,k9123T所以在,,下坐标为10,4,9。123在,,下坐标可得123y11111023y2112432y0119133(3)在基,,下坐标为123101011011A4111
4、415911096在基,,下坐标为1232310123101A3211132413110139002At三、(20分)设A010,求e。103解:容易算得2IA12m12由于m是2次多项式,且1,2,故g是1次多项式,设12gaa01由于tfe,且fg,f
5、g,故1122teaa012tea2a01t2ta2ee于是解得:02ttaee1从而:AtfAegAaEaA01t2t2tt2eeEeeAt2tt2t2ee02e2et0e02tt2ttee02ee101四、(15分)求矩阵A011的奇异值分解。000101T解:BAA011的特征值是13,21,30对应的特征向量依次为11211111,21,31
6、20130于是可得rankA2,01111623111V623201631122111计算:UAV11220011002211构造U20,则VU1U20221001则A的奇异值分解为:300TAU010V000五、(15分)求矩阵1012A12112221的满秩分解:解:1012100
7、AE121101022210011012100行02031100000111100P110111可求得:1001011012P110B11,C020321121101012于是有A11BC020321ACHCCH1BHB1BH或ACHBHACH1BH110六、(10分)求矩阵A430的Jordan标准形
8、。102解:求EA的初等因子组,由于110100