中国矿业大学研究生课程矩阵论试题与附标准答案

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1、成绩中国矿业大学2011级硕士研究生课程考试试卷考试科目矩阵论考试时间2011年11月研究生姓名______________所在院系______________学号______________任课教师______________中国矿业大学研究生培养管理科印制7参考答案一（20分）表示实数域上次数不超过2的多项式构成的线性空间。对，在上定义变换：（1）验证是上的线性变换；（2）求的基到基的过渡矩阵；（3）求在基下的表示矩阵；（4）在中定义内积，求基的度量矩阵。解：（1）设类似可验证:或把写成：（1）再来验证就更方便了。（2）由得基到基的过渡矩阵为7（3）由,,得在基下的表示矩阵为：（4）故度

2、量矩阵二（20分）设（1）求的行列式因子、不变因子、初等因子；（2）求的Jordan标准形；（3）求可逆矩阵使；（4）计算并求解微分方程组。7，其中解（1），行列式因子：不变因子：初等因子：（2）（3）对，解，得基础解系对，解，得基础解系再求的一个广义特征向量：由，解得令则（4）7三（15分）设，（1）求的满秩分解；（2）求的广义逆；（3）求的极小范数最小二乘解。解（1）求得的满秩分解为（不唯一）（2）.（3）.四（10分）计算下列各题（1）设，是向量变量，，求；（2）设，用Gram-Schmidt正交化法求的QR分解（正交三角分解）。解（1），，。7（2）记，令则，五（10分）设，（1）写

3、出A的4个盖尔圆；（2）应用盖尔圆定理证明矩阵A至少有两个实特征值。解（1）7（2）它们构成两个连通部分，且均关于实轴对称，故中只有一个特征值且必为实数，中有三个特征值，故至少有一个实特征值。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。六（15分）证明矩阵是矩阵的充分必要条件是是正规矩阵且其特征值全是实数。证明：若是矩阵，则满足，是正规矩阵。并且存在酉矩阵使得其中是矩阵的特征值。对上式两边取共轭转置可得因此，即的特征值全是实数。反之，若是正规矩阵，则存在酉矩阵使得其中是矩阵的特征值。从而对上式两边取共轭转置可得又因为的特征值全是实数，因此有，即是矩阵。七（10分）设，证明（1）；（2）是齐次方程组的通解。证明：（

4、1）设的奇异值分解（SVD）为7则，从而所以。下面只需再证的列都是的解，即证这由的定义立即得。7