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《浅析用-N-定义证明数列极限的常见错误》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第3期(总第32期)黎明职业大学学报No.32001年9月JournalofLimingVocationalUniversitySept.2001文章编号:1008-8075(2001)03-0032-06浅析用“ε-N”定义证明数列极限的常见错误林伟洪(黎明职业大学福建泉州362000)摘要:通过分析数列极限证明中的常见错误,阐述了深刻理解并用适当地使用“ε-N”语言,有助于提高学员的思考力,培养学员的辩证统一观,对学员进一步深入学习微积分学打下坚实基础。关键词:“ε-N”语言;无限接近;辩证统一中图分类号:O13文献标识码:B在微积分发展史上“ε-N”语
2、言是一个重大进步,它将口头叙述的动态过程表示为静态的形式,使人更易于把握数列极限定义中所谓“无限接近”的含义。关于数列{αn}以A为极限的“ε-N”语言是:任给ε>0,存在一个自然数Nε,当n>Nε时,有
3、αn-A
4、<ε。这里
5、αn-A
6、是一个表示αn与A接近的程度的量。为了表示无限接近,应将ε>0视为可变的,可以任意小的量,此处的任意性,包含了ε>0在一定范围内取值的全面性、可变性,这里的“any”,实质上是“all”。但我们用“任给ε>0”,而不用“对一切ε>0”优点在于,当给出ε以后,就将它视为不变的了,在整个论证或求解过程中,就是对这个取定的ε>0进
7、行,这就是微积分学中常用的以“一”代替“无穷”的证法。所以ε>0有双重身份:在我们的出发点上它是变的,但在给出后又视其不变,初学者对这种变与不变的辩证统一缺乏足够的认识,从而觉得“ε-N”语言艰深抽象,在用其证明数列极限时,往往只是形式地套用定义,机械地模仿例题的证明格式,造成各种类型的错误,现举例如下:收稿日期:2000-05-10;修回日期:2001-08-30作者简介:林伟洪(1955-),男(汉),福建泉州人,黎明职业大学讲师,主要从事数学教学方面的研究。©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishi
8、ngHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net第3期林伟洪浅析用“ε-N”定义证明数列极限的常见错误33一、对任给ε>0时,没有找出N23n+23例1证明Lim2=n→∞5n+15233n+237错证:∵αn-=2-=255n+155(5n+1)37∴对任给ε>0,令αn-=2<ε55(5n+1)23n+23∴Lim2=n→∞5n+1523n+23分析:要证数列{2}的极限为,在给出ε>0之后必须找到满足条件的N,条5n+153件是:当n>N时,数列从第N+1项开始以后的任意一项与之差的绝对值小于ε。而小5面的“证
9、明”,根本没有找出N,所以,实际上什么也没有证明。233n+2377正确的证法是:∵αn-=2-=2<55n+155(5n+1)n23n+23777∴对任给ε>0,要使2-<ε,只须<ε,即n>,取N=〔〕,则当n5n+15nεε23n+23>N时,恒有2-<ε。5n+1523n+233∴Lim2-=n→∞5n+155注:(1)本文所举例题均指用“ε-N”定义证明(2)〔x〕表示不大于实数x的最大整数二、求出的N与n有关3+Sin2n例2证明:Lim=0n→∞n3+Sin2n3+Sin2n错证:∵-0=nn3+Sin2n∴对任给ε>0,要使-0<εn3+Si
10、n2n3+Sin2n只要<ε,即n>nε3+Sin2n即N=〔〕,则当n>N时ε3+Sin2n3+Sin2n恒有-0<ε,∴Lim=0nn→∞n分析:上面“证明”错在哪里?根据数列极限的分析定义在证明中求出的N,应只与©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net34黎明职业大学学报2001年ε有关,即ε一旦给定,N就可以确定,而在上面“证明”中所求出的N,在ε定后,N的不能确定,还要因n的变化而不同,故证法错误。2n2
11、n3+Sin3+Sin4正确的证明是:∵-0=-0≤nnn2n3+Sin4∴对任给ε>0,要使-0<ε,只要<ε.nn2n443+Sin∴n>,取N=〔〕,则当n>N时,恒有-0<εεεn2n3+Sin∴Lim=0n→∞n三、自变量n被限定时N取错2n+n+41例3证明:Lim2=n→∞2n+n-422n+n+411n+12错证:对任给ε>0,∵2-=22n+n-4222n+n-4为了便于上式的放大,限定n>4,此时有1n+12n+12n+3n112=2<2=2<22n+n-42(2n+n-4)4nnn111∴<ε,即n>,取N=〔〕,则当n>N时,nεε2
12、2n+n+41n+n+41有2-<ε∴Lim2=2n
