第4讲 误差理论

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1、计算方法ComputationalMethod主讲：李明西南林业大学机械与交通学院总学时：48学时考试方式：闭卷、120分钟成绩评定：平时成绩（20%）+考试成绩（80%）无故旷课一次扣平时成绩5分、无故旷课次数达4次者没有考试资格；请假一次扣平时成绩3分，请假必须有班主任意见参考教材：程云鹏主编，矩阵论，西北工业大学出版社，2005年郑成德主编，数值计算方法，清华大学出版社，2010年请假条尊敬××老师：我是2012级××专业硕士研究生××，学号××。我因××（必须写明具体事项），由于与××课程×年×月×日×时段的上课时间冲突，所以向您请假一

2、次，希望能够批准。本人签名：日期：班主任意见：经过落实，××同学的请假原因属实，特此证明。班主任签名：日期：一点要求关闭手机或转到无声档在不影响课堂秩序的前提下可以随意进出鼓励课堂积极提问E-mail:swfu_lm@swfu.edu.cnTel:13987195528主要内容Lecture1线性空间与线性变换Lecture2范数理论Lecture3矩阵分析Lecture4误差理论Lecture5线性方程组的数值解法Lecture6插值法Lecture7曲线拟合的最小二乘法Lecture8非线性方程的数值解法Lecture9数值积分和数值微分L

3、ecture10常微分方程的数值解法计算方法ComputationalMethod（数值）计算方法，又称数值分析，是应用数学的一个重要分支。主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论。Ex.1用Cramer法则求解一个n阶线性方程组，要计算n+1个n阶行列式，总共需要(n-1)(n+1)n!次乘法。一个20阶的方程组大约要做1020次乘法。即使用运算速度达百亿次/秒的计算机，也要连续工作数千年才能完成。如果用消元法，求解一个n阶线性方程组大约需要1/3n3+n2次乘法。实际问题→数学模型→计算方法→程序设计→上机计算特点：★将数学问

4、题表示为计算机能直接处理的四则运算的有限形式★数值算法必须保证收敛性，即同时保证精度和稳定性★具有良好的计算复杂度，即所需运算次数及存储量尽量少计算方法Lecture1误差理论ComputationalMethod1.误差（error）一个实际问题的真值与计算出来的值之间往往存在差异，这种差异称为误差实数：无限&连续VS机器数：有限&离散★机器数存在最大值和最小值、0不是惟一的★用计算机处理数学问题，通常都会产生误差，原因是：1、用有限的四则运算近似表示数学问题2、用机器数近似实数Ex.1做一个立方体，使其体积为已知立方体的二倍。（立方倍积问题

5、—古希腊）Ex.21991年2月15日，伊拉克的一枚“飞毛腿”导弹击毁了美国“爱国者”导弹防御系统。导致这一灾难的主要原因是“爱国者”导弹火控系统计算时由于没有考虑到尾数误差，在十分之一秒转换时出了差错。计算方法Lecture1误差理论ComputationalMethodEx.31996年6月4日，欧洲阿里亚娜Ⅴ运载火箭从法属圭亚那发射升空，升空后火箭偏离轨道，地面指挥人员不得不让火箭在发射后36秒自行销毁。本次发射失败的原因是因为指挥系统对尾数处理不当造成误差。Ex.41961年冬天，麻省理工学院助教爱德华洛伦兹发现“混沌”现象，开辟了一个

6、全新的科学领域——“混沌理论”。原因是将原本小数点后六位数据输成三位，误差不到0.1%，但两次运算结果大相径庭。1.1误差的来源与分类★模型误差：由实际问题抽象、简化为数学问题所引起的误差★观测误差：测量工具的限制、获取数据时随机因素所引起的物理量误差12Exsg.=t2计算方法Lecture1误差理论ComputationalMethod★截断误差：数值方法的正确解和模型准确解之间的误差★舍入误差：计算机中的数的位数有限，计算时需要四舍五入111357Ex.sinx=x−+−+xxx?3!5!7!实际计算时取截断误差1135sinxSxx5=

7、−+xR=sinxS−3!5!Ex.π=3.141,592,6?机器数舍入误差π5s=3.141,6rs=−=π0.000,007,3?★固有误差：模型误差&观测误差★计算误差：截断误差&舍入误差计算方法Lecture1误差理论ComputationalMethod1.2绝对误差（absoluteerror）***exx***eexxx==()−=−≤ε***xx—准确值；—的近似值xε——x的绝对误差限绝对误差限不是惟一的1.3相对误差（relativeerror）**xx−exr=≠0xx−**xx−*x**εe==≤=εrr***xxx*

8、*xx−e=**xr*εr——的相对误差限x计算方法Lecture1误差理论ComputationalMethodEx.1已知π=3.1415926…