第4讲：圆锥误差(2-1)

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1、第二部分高动态环境下捷联惯导系统姿态算法研究1．引言在常规的捷联惯性导航系统的姿态算法中，总是认为载体坐标系和参考坐标系间的转换是通过一系列的转动来实现的，而这些转动间的次序并不重要，这是基于无限小转动是矢量的原理来得到的。（1）欧拉角由参考系OXYZ至载体系OXbYbZb的变换可以通过依次绕不同坐标轴的三次连3-1-2欧拉角转动续转动来定义。姿态欧拉角的运动学方程：⎡φ&⎤⎡(ωxcosθ+ωzsinθ)cosφ⎤⎢&⎥=1⎢⎥⎢θ⎥⎢ωycosφ+()ωxsinθ−ωzcosθsinφ⎥cosφ⎢⎣γ&⎥⎦⎢⎣

2、ωzcosθ−ωxsinθ⎥⎦o方程中存在三角函数，给实时计算带来困难；且当φ=90时，方程中出现奇点，使θ、γ的解变得不确定，因而使其使用受到限制，不能用于全姿态飞行器上。（2）方向余弦阵由参考系OXYZ至载体系OXbYbZb的姿态矩阵为C()γ,φ,θ=Cy(θ)Cx(φ)Cz(γ)⎡cosγsinγ0⎤⎢⎥第1次转动：Cz()γ=⎢−sinγcosγ0⎥⎣⎢001⎥⎦⎡100⎤⎢⎥第2次转动：Cx()φ=0cosφsinφ⎢⎥⎢⎣0−sinφcosφ⎥⎦⎡cosθ0−sinθ⎤⎢⎥第3次转动：Cy()θ=01

3、0⎢⎥⎢⎣sinθ0cosθ⎥⎦方向余弦矩阵的微分方程为：C&=CΩ式中⎡0−ωzωy⎤⎢⎥Ω=⎢ωz0−ωx⎥⎣⎢−ωyωx0⎥⎦方程的解为：C=Cexptk+1Ωdtk+1k∫tk（3）四元数四元数是具有四个元素的超复数，它可以描述一个坐标系或一个矢量相对于某一坐标系的旋转⎡q0⎤q=⎢⎥⎣q13⎦实数q0为四元数的标量部分，q13为四元数的矢量部分。⎡q1⎤⎛ϕ⎞⎢⎥⎛ϕ⎞q0=cos⎜⎟q13=⎢q2⎥=esin⎜⎟⎝2⎠⎝2⎠⎣⎢q3⎥⎦式中，e是表示旋转轴方向的单位向量，ϕ是旋转角。四个元素满足正交约束

4、方程2222q0+q1+q2+q3=1T⎡γγ⎤第一次转动：q′=cos00sin⎢⎣22⎥⎦T⎡φφ⎤第二次转动：q′′=cossin00⎢⎣22⎥⎦T⎡θθ⎤第三次转动：q′′′=cos0sin0⎣⎢22⎥⎦由上述3-1-2欧拉角转动得到合成四元数q=q′⊗q′′⊗q′′′把上式表示为三次坐标转换矩阵的乘积，有A()q=A(q′⊗q′′⊗q′′′)=Ay(q′′′)Ax(q′′)Az(q′)由四元数表征的运动学微分方程为1q&=Ωbq2式中⎡0ωz−ωyωx⎤⎢⎥−ωz0ωxωyΩ=⎢⎥b⎢ωy−ωx0ωz⎥⎢

5、⎥⎣−ωx−ωy−ωz0⎦方程的解为1[tk+1]qk+1=exp∫tΩbdtqk+12k我们在对运动学方程求解时，都用了角速度矢量的积分，即t+∆h∆θ=∫ω(t)dt。t而上述积分有意义的前提条件是角速度矢量方向不变。在力学中，刚体的有限转动是不可交换的。这个转动的不可交换性决定了转动不是矢量，也就是两次以上的转动不能相加。根据欧拉旋转定理，飞行器的转动从任一给定方位到任一其它方位可通过连续绕瞬时轴转动获得，而瞬时角速度方向在空间不断地改变，对一个在空间方向随时间变换的角速度矢量进行积分是无意义的。当不是定轴转

6、动时，即ω(t)的方向在空间变化时，式t+∆h∆θ=∫ω(t)dtt是不成立的，即角改变量不是矢量。因此，在采用角速度矢量积分时，使得计算产生了误差，称为转动不可交换性误差。对于捷联惯导姿态更新来说，锥运动是最恶劣的工作环境条件，此运动造成的不可交换性误差影响最大，会诱发数学平台的严重漂移。因此，锥运动通常被作为检验姿态算法优劣的条件，也就说如果能够确保锥运动环境条件下的算法漂移最小，就一定能确保在其余环境条件下的算法漂移最小。2．圆锥运动与圆锥误差圆锥效应是刚体运动的一种几何现象。刚体受到环境振动影响或本身具有的

7、角运动，使得其在二个正交轴方向存在频率相同的角振动速率时，第三个正交轴在空间将绕其平均位置作锥面或近似锥面的运动，称为刚体的圆锥运动或圆锥效应。Y轴：αcos()ψtXZ轴：αsin()ψtsxbzObYsZsyb圆锥运动对应的角速度矢量在载体坐标系上的分量为b2αωx=−2ψsin2bωy=−ψsinα⋅sinψtbωz=ψsinα⋅cosψt该圆锥运动会在载体坐标系xb轴上产生常值角速度，该角速度具有与陀螺常值漂移相同的性质，该角速度必为xb轴陀螺所敏感，从而产生视在的测量误差，即圆锥误差。以上所讨论的两个角振

8、动的相位差为90°，当相位差为ϕ时，同样可以导出xb轴的常值角速度为b2αωx=−2ψsin⋅sinϕ2由于角振动速度的幅值、频率和相位一般是随机变量，由上式给出的圆锥误差表达式不能用于实时的修正计算，只能用来说明圆锥误差的存在和对误差量级的估计。圆锥误差与刚体有限转动产生的不可交换误差具有相同性质。换言之，圆锥误差是在三维角振动环境下刚体有限转动产生的不可