第4讲误差传播的应用

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1、第第44讲讲误差传播律的误差传播律的应用应用1回顾（1）观测量的方差设观测量x，方差为x设观测量y，方差为y则x与y之间的协方差为：xyxyyx（2）观测向量的方差矩阵T设观测向量Xxxx12n21121n22122nDXX2n1n2n特点：In阶对称方阵II当各观测量互不相关，即相互独立，为对角阵III当对角元素相等时，为等精度观测。20012对角阵00D2XX200n22纯量阵DXX21

2、1DXX单位阵I1（3）向量间的互协方差矩阵TT设观测值向量Xxxx，Yyyy，12n12m定义X与Y之间的协方差矩阵为：xyxyxyD是nm矩阵11121mXYDx2y1x2y2x2ymXYTDDYXXYxny1xny2xnym5T设观测值向量Xxxx12n其方差阵为DXX函数ZKXK0TDKDKZZXXTDKDKZZXX特例1当观测值向量X中的各个分量x两两相互独立时，i方差阵为对角阵，z的方差为：ZKXK022222WFYF2

3、2Dkkk0zzz1122nn特例2在上述情况下，当各观测值精度相同，中误差为，且系数k均为1时，z的方差为：22222Dnzzz12n协方差传播律：TDKDKZZXXZKXKT0DWWFDXXFWFXFT0DKDFZWXXTDFDKWZXXTDKDKZZXXTZKXK0DWWFDYYFTWFYFDKDF0ZWXYTDFDKWZYX8应用协方差传播律的具体步骤为：应用协方差传播律的具体步骤为：1.按要求写出函数式，如：ZKX或：Zifi(X1,X2,

4、,Xn),(i,2,1,t)2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得：fffiiidZ()dX()dX()dX(i,2,1,t)i01020nXXX12n3.写成矩阵形式：dZKdX4.应用协方差传播律求方差或协方差阵。9例1：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L、L、L，其方差为2，123将闭合差平均分配后各角的方差。例2：设有函数，ZF1XF2Y，已知DXXDYYDXYt1,n1,r1,t,nt,r求DDDZZZXZY31例3设y12x1x2y2x13x2，已知DXX，214求的Fyy方差

5、F。12图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长s和角度β。P点坐标为：xxscosPBBP式中：yyssinPBBPyyABarctan()BAxxAB360BPBA现在的问题是在已知观测边长s和角度β的方差和协方差条件下，如何计算P点坐标的方差和协方差。例设例xPxBscos(BA)，yPyBssin(BA)22xy和的方差为零，s的方差为s，的方差为，且0BBBAs计算22？,,xPyPxPyPdxPcos(BA)ssin(BA/)ds解：

6、dyPsin(BA)scos(BA/)dssin(BA)cos(BA)sin(BA)2cos(BA)20XPXPYPsssin(BA)scos(BA)2scos()2YXYBA0PPPsin()BA222ssin()22(cos())(BA)XPBAs222scos()22(sin())(BA)YPBAs22ssin(BA)cos(BA)2

7、cos()sin()XPYPBABAs2121800是用于角度与弧度的换算。57.29578(度)3438(分)206264(8.秒)如果d以弧度为单位，则该项不需要。d通常以秒为单位，则206265。在测量工作中，常用点位方差来衡量点的精度，点位方差等于该点在两个互相垂直方向上2的方差之和，即：22222s2PXPYPps222通常称为纵向方差，它是由边长BP方差引起的。在BP边的垂直方向的方差称为Su横向方差，它是由边的坐标方位角的方差