《概率论与数理统计》典型例题

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1、《概率论与数理统计》典型例题第一章随机事件与概率例1．已知事件A,B满足，A与B同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且PA()=p，则PB()=。分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。解：由题设知，PA()B=P(A∩B)，则有PA(B)=P(A∩∪B)=PA(B)=−1P(A∪B)=−1PA()−P()B+PA(B)而PA()=p，故可得PB()=1−p。注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整

2、除的概率为。分析：这是古典概型的问题。另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。53解：设A：“号码能被2整除”，B：“号码能被3整除”，则PA()==,P(B)。10101只有号码6能同时被2和3整除，所以PA()B=，故所求概率为105317PA(∪B)=+P()AP()B−P(AB)=+−=。10101010注：这是加法公式的一个应用。本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。例3．对于任意两事件A和B，若PA()>

3、0,P()B>0，则不正确。（A）若AB=φ，则A、B一定不相容。（B）若AB=φ，则A、B一定独立。（C）若AB≠φ，则A、B有可能独立。（D）若AB=φ，则A、B一定不独立。分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出1发。解：由事件关系中相容性的定义知选项A正确。由事件的独立性的定义知，若PA(B)=P(A)P(B)，则事件A、B相互独立。选项B的条件是AB=φ，故有PA()B=P(φ)=0，但题设条件是PA()>>0,P()B0，故0=≠PA(B)P(A)()PB>0,即A、B一定不独立，从而选项D正确，选项B不正确。而选项C条件为AB≠φ，即P

4、A()B≠0，则有可能PA(B)=P(A)P(B)，选项C正确。故应选B。注：事件的相容性与独立性有本质的区别，独立性要求事件发生的概率满足一定的关系，即由事件发生的概率的角度来描述事件之间的关系；而两事件不相容仅仅要求两事件不能同时发生，即由事件本身来描述事件之间的关系。记住这一点区别就能以不变应万变。本例还可去掉条件“PA()>0,P()B>0”改成如下表述对于任意两事件A和B，是正确的。（A）若AB≠φ，则A、B一定独立。（B）若AB≠φ，则A、B有可能独立。（C）若AB=φ，则A、B一定独立。（D）若AB=φ，则A、B一定不独立。答案仍选项B，还是从相容与独立的定义出

5、发即可解决。例4．下列各命题中，为真命题。（A）若PA()=0，则A为不可能事件。（B）若A与B相互独立，则PA()=1−P(B)。（C）若A与B互不相容，则PA(∪B)=1。（D）设AA,,",A为n个事件，若对∀ij≠=,,ij1,2,",n，均有12nPA()A=P(A)P(A)，则AA,,",A相互独立。ijij12n分析：此问题仍旧考察各种概念的区别，由定义解决。解：选项A考察的是不可能事件，在随机试验中，一定不发生的事件叫不可能事件，记作φ。显然P()φ=0。但反过来，概率为0的事件不一定是不可能事件。故选项A不正确。由例3给出的事件独立性定义易见，选项B的结论未

6、必成立。对于选项C，若A与B互不相容，则AB=φ，从而PA()∪B==P(AB)1−PA(B)=1−P(φ)=1。2而选项D考察的是多个事件相互独立与两两独立概念的区别，显然给出的描述是AA,,",A两两独立，并非相互独立。若对任意的kk(1<≤n)及任意的12n1≤

7、B)=⋅P()AP(B)。（D）PA()−B=P(A)分析：此问题仍旧考察相容性与独立性的区别，以及一个常用公式。解：由题设知，PA()>0，PB()>0以及AB=φ，则知PA()B==P(φ)0，显然选项C不正确。当A和B为任意两个概率不为零的互逆事件时，则A与B不相容，但选项B也有可能发生，故两结论都不一定正确。而A−=−BAAB，故有P(A−BP)=−(AABP)=()A−P(AB)=P(A)，即选项D正确。注：公式A−=−BAAB是个常用公式，也是非常好用的公式。例6．从6副不同的手套中任取4只