概率论与数理统计__典型例题及其分析.docx

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1、概率论与数理统计典型例题及其分析第三章多维随机变量及其分布例3.2.1设随机变量和的联合分布律为XY121b2a3⑴求应满足的条件；⑵若X与Y相互独立，求a,b的值.【思路】先利用联合分布律的性质确定a,b应满足的条件，再利用独立性的定义来求出a与b.【解】⑴因为，所以因此⑵由于X与Y相互独立，即对所有有于是解得或同理解得或再由知【解毕】【技巧】由于X与Y的独立性，故对所有的应有因此，我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数，例如而可求得又而求得这种参数的确定方式，需要读者熟练掌握.例3.

2、2.2（1999年考研题）设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量的联合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空间处：XY1【思路】利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从求得再利用独立性知从而知等等.【解】利用以及与独立性.求解空格内的数值，故即又由可得反复运用上列公式，可求得将算得的数值填入表中的空格内，即得XY1例3.2.3（1999年考研题）已知随机变量和的概率分布分别为与PP，而且求和的联合分布；问：⑴和是否独立？⑵为什么？【思路】已知和的边缘分布，一般是不能确定和的联

3、合分布的，但题中给了一附加条件因此就要从条件入手加以分析，再利用边缘分布与联合分布的关系，就可求解此题了.独立性的判断是比较简单的.【解】⑴由知即于是和的联合分布有如下结构：01-100101从而利用边缘分布律与联合分布律的关系知即从而得同理可知故和的联合分布律为01-1000101⑵由以上结果知而可见，与不独立.【技巧】先.将边缘分布的数据以及由条件中对应数据填入表中，得到联合分布律表的基本结构，再来求其余的值，是对解离散型随机向量的基本技巧.按独立性的要求，可以检验与是否独立，特别对不独立的说明只需找出一对，使即可

4、.例3.2.4将两封信投入3个编号为1，2，3的信箱，用分别表示投入第1，2号信箱的信的数目，求的边缘分布律，并判断与是否独立.【思路】首先确定的所有可能取值，并用古典概型求出取相应值的概率，即可得到的联合分布律，剩下的问题也就迎刃而解了.【解】将2封信投到3个信箱的总投法而和的可能取值均为0，1，2，于是（两封信都投入第3号信箱）=（两封信中一封投入第1号信箱，另一封投入第3号信箱）同理可得：这样，可得的联合分布律，又由于故所求的分布律为XY0120102001X的边缘分布律在表中的最后一列，Y的边缘分布律在表中的最

5、后一行.由于，而故与不独立.【解毕】【技巧】二维离散型随机变量的联合分布律，在实际问题中可用事件的乘机（交）的概率求得，此时概率的乘法公式是十分常用的计算技巧.例3.2.5设服从区域上的均匀分布，⑴写出的联合密度函数；⑵求和的边缘密度函数；⑶求概率.【思路】先画出区域D的图形，再按上面的解法来求解.【解】（1）由于区域D是由曲线和所围成的（如图3.2.1所示），其面积为所以的联合密度为图3.2.1⑵X的边缘密度函数为而Y的边缘密度函数为⑶记，则为图3.2.2阴影部分，从而【寓意】本题要求熟悉二维均匀分布和计算边缘密度及

6、概率的基本方法，求这些问题的技巧读者应牢牢掌握，最关键的问题是激发呢区间和积分区域的确定.图3.2.2例3.2.6设二维随机变量的概率密度为⑴确定常数A；⑵求随机变量X的密度；⑶求概率.(后二问为1992年考研题)【解】⑴记D为的零区域，即其图形如图3.2.3所示.由联合密度的性质得，从而有因此，A=1.⑵X的边缘密度为⑶设，则如图3.2.4所示.故图3.2.3图3.2.4【技巧】在利用确定中的常数时，若的区域为D，则只需用就可以了.例3.3.1设的联合分布律为XY-1012a求：⑴常数a;⑵联合分布函数在点处的值⑶【

7、解】⑴由联合分布律的性质知求得⑵的联合分布函数在点处的值⑶【解毕】【技巧】求联合分布函数时，只需把取值满足的点的概率找出来，然后求和就可以了，值得注意的是不要有遗漏.而求条件分布律时的关键是将其边缘分布求出即可，而边缘分布律的求法在前节已反复强调过多次.例3.3.2已知随机变量和联合概率密度为求⑴条件密度及⑵X和Y的联合分布函数.(第二问为1995年考研题)【思路】根据条件密度的定义，我们首先要求出X与Y的边缘密度，然后再来求条件密度.而联合分布函数的求法是一个较为繁琐的工作，需要分区域讨论，这些区域不能遗漏.【解】⑴

8、由于X的边缘密度为同理，有故当时，>0，且从而，在条件下，X的条件密度为同样可得，在条件下，Y的条件密度为⑵对联合分布函数要分区域讨论.对于或，有对于有对于，有对于有对于有从而，X和Y的联合分布函数为【技巧】由于本题中，X与Y的地位完全平等，因此，在求条件密度时，只需求出一个，另一个用对称性即可得到，此对称性在中也有很好的体现，对