概率论与数理统计复习思考及例题2014.12

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1、一、基本概念统计规律性：在相同的条件下进行大量观察或试验中，出现的结果有一定的规律性。确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。试验：对某事物特征进行观察。随机试验：具有如下特点试验：①可在相同的条件下重复进行；②试验结果不止一个,但能明确所有的结果；③试验前不能预知出现哪种结果。样本空间：随机试验E所有可能的结果组成的集合。样本点：样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点。随机事件：样本空间S的子集。基本事件

2、：仅由一个样本点组成的子集。必然事件：每次试验必定发生的事件。不可能事件：每次试验都不发生的事件。和事件AB：事件A与事件B至少有一个发生。积事件AB：事件A与事件B同时发生差事件：事件A发生，但事件B不发生。事件的互斥：若AB，A与B互斥。即A、B不可能同时发生。逆事件：若ABS,且AB,则称A、B为对立事件。即每次试验A、B中有且只有一个发生。nA频率：设在n次试验中，事件A发生了nA次，则称f为事件A发生的频率。nn概率的公理化定义：设S是随机试验E的样本空间，若能找到一个法

3、则，使得对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A),称之为事件A的概率，这种赋值满足下面的三条公理：AS,P(A)0①非负性：②归一性：P(S)1③可列可加性：PAP(A)，其中A,A,为两两互斥事件。ii12i1i1概率的古典定义：设随机试验E具有下列特点：①基本事件的个数有限；②每个基本事件等可能性发生nA则称E为古典(等可能)概型，计算公式为P(A)。n小概率事件：若P(A)≤0.05,则称A为小概率事件。小概率原理：即实际推断原理，一次试验中小概率事件一般是不

4、会发生的.若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件。条件概率：将已知事件B发生的条件下，事件A发生的可能性的客观度量称为条件概率，记为P(A

5、B)。1P(AB)或：设A，B是随机试验E的两个随机事件，且P(B)>0，称P(AB)为在事件B发生的P(B)条件下,事件A发生的条件概率。乘法公式：利用条件概率求积事件的概率即乘法公式P(AB)P(A)PBA(P(A)0)或P(AB)P(B)PAB(P(B)0)推广P(A1A2An)P(A1)PA2A1PAnA1A

6、2An1(P(AAA)0)12n1事件的独立性：设A,B为两事件，若P(AB)P(A)P(B)则称事件A与事件B相互独立。n个事件A1,A2,…,An相互独立是指P(AAA)P(A)P(A)P(A)12n12n随机变量：设S是试验E的样本空间,若eS，按照一定法则，实数X(e)则称X(e)为S上的随机变量。随机变量的分布函数：设X为随机变量,x是任意实数,称函数F(x)P(Xx),x为X的分布函数.。分布律：P(Xx)p,k1,2,称为离散随机变量X

7、的分布。kk概率密度函数：设X是随机变量,若存在一个非负可积函数f(x),使得xF(x)f(t)dtx其中F(x)是它的分布函数，f(x)是它的概率密度函数。连续随机变量取任一常数的概率为零；概率为0(1)的事件未必不发生(发生)。不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。同理，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。连续性随机变量函数的分布定理：设连续型随机变量X具有概率密度fX(x),又y=g(x)处处可导,且有g(x)>0(或恒有g(x)<

8、0),则Y=g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为f[h(y)]

9、h(y)

10、,αyβf(y)XY0,其它min{g(),g()}其中max{g(),g()}h(y)是g(x)的反函数二维随机变量：设随机试验E的样本空间为，对于每一样本点，有两个实数X(),Y()与之对应，称它们构成的有序数组(X,Y)为二维随机变量。2联合分布函数：对任意实数对(x,y)，称二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}为(X,Y)的联合分布函数.边缘分布函数：一维

11、随机变量X、Y的分布函数FX(x)与FY(y)称为二维随机变量(X,Y)的边缘分布函数.离散随机变量的数学期望：设X为离散随机变量其分布为P(Xx)p,k1,2,若无穷级数kkxp绝对收敛,则称其和为X的数学期望，记作E(X)。E(X)xp。kkkkk1k1连续随机变量的数学期望：设连续随机变量X的概率密度为f(x)若广义积分xf(x)dx绝对收敛,则称此积分为X的数学期望，记作E(X),即E(X)xf(x)dx。一维随