微分学基本定理及其应用

《微分学基本定理及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、《数学分析》教案第六章第六章微分学基本定理及其应用导数是研究函数性态的重要工具，仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用，它需要建立在微分学的基本定理的基础之上，这些基本定理统称为“中值定理”§6.1中值定理一、洛尔定理极值概念定义：设函数在点的邻域有定义，若，（或），则称函数在取极大值（或极小值），极大值（极小值）是，称为函数的极大点（极小点）。极大值与极小值统称为极值，极大点与极小点统称为极值点。注：（1）在定义中，可能有，例如，在的邻域的常数函数，恒有，于是，常数函数在既取极大值又取极小值；（2）函数在的极值是在点邻域的局部性概念，而在区间上的

2、最大值（或最小值）是区间上的整体性概念，并且函数有可能在区间的端点上取到最大值（或最小值）。最大（小）值不一定是极大（小）值。[端点不讨论极值]。若函数在区间的内部某一点取到最大值（最小值），则函数在30《数学分析》教案第六章必取到极大值（或极小值），即：，在取最大（小）值在取极大（小）值。极大（小）值不一定是最大（小）值。（3）极大值与极小值大小无必然关系费尔马定理：若函数在可导，且在取极值，则证法：要证：证明：设函数在取极大值（极小值证法相同）即：，或讨论在的左右导数，当时，由⑴式，有：，从而当时，由⑴式，有已知函数在可导，有于是，即：洛尔定理：若函

3、数在闭区间连续，在开区间可导，且，则在内至少存在一点，使30《数学分析》教案第六章证法：证明函数必在内部某点取极值，根据费尔马定理，即得结果。证明：已知函数在闭区间上取到最小值与最大值，下面分两种情况证明：⑴：若，则是闭区间上的常数，于是，，有，即都能使。⑵：若，已知，则与不可能一个是最大值，一个是最小值，即函数必在开区间内部某一点取最大值或最小值，于是函数在点取极值，根据费尔马定理，有：例：若函数，则在内存在一点，使。证明：已知函数在连续，在可导，且根据洛尔定理，分别存在和，使和，已知导函数在连续，在可导，再根据洛尔定理，存在一点，使。例2：二、拉格朗

4、日定理拉格朗日定理：若函数在闭区间连续，在开区间可导，则在开区间内至少存在一点，使30《数学分析》教案第六章。几何意义：证法：若满足洛尔定理的条件，定理就好证了。证明：构造辅助函数即：已知函数在连续，在可导，则函数在也连续，在也可导，又有，根据洛尔定理，在内至少存在一点，使：即：…………⑵⑵式可改写为：或：也可改写为：，设，，（可正可负），，30《数学分析》教案第六章注：拉格朗日定理是微分学最重要的定理之一，是利用导数的局部性研究函数整体性的重要工具，它是沟通导数与函数的桥梁。例1：若（区间），，则，，其中是常数。证明：取定一点和，且，显然，函数在或上满

5、足拉格朗日定理的条件，根据拉格朗日定理，在与之间存在一点，使：，在与之间已知：，有：，设，即，三、柯西定理柯西中值定理：若函数与在闭区间连续，在开区间可导，且，，则在内至少存在一点，使注：这样证，你认为对吗？“证”因为、均在上满足拉格朗日定理条件，所以存在一点，使，且，，从而有30《数学分析》教案第六章不对：因为分别对和运用拉格朗日定理得到的未必是同一个，为了区别起见，应分别用，表示，于是得到等式应该是，而不是柯西定理证明的分析：柯西定理是拉格朗日定理的推广，其证明可以仿照拉格朗日定理进行。欲证：即：亦即证：上式可以写成令：于是，只须验证在上满足洛尔定理

6、的条件就行。证明：首先证明，用反证法：假设，即，根据洛尔定理，在内至少存在一点，使，与已知条件矛盾，构造辅助函数，令：，这函数在30《数学分析》教案第六章连续，在可导，且，由洛尔定理，在内存在一点，使，即：下列函数在指定区间上是否满足柯西定理的条件？若满足，求出。①（不满足）②（满足）③（满足）例4、5拉格朗日定理柯西定理的几何意义：柯西定理洛尔定理补充练习：1、如果函数的导数在上连续，则必存在常数，使，30《数学分析》教案第六章2、证明下列恒等式：（1），（2），（3），例：证明：①若内的可微函数无界，则在内也无界；②若改为或原命题成立吗？③.①的逆命

7、题成立吗？证：①用反证法，假设在内有界，则，使，，选定，，在或内满足中值定理条件，则：∴这说明在内有界，与已知条件矛盾，∴在内无界②原命题不成立，如③.①的逆命题是：定义在上的函数，如果导函数在上无界，则在上无界。此结论不能成立，例如，，，而无界，有界。30《数学分析》教案第六章§6.2洛比达法则一．型我们约定用“0”表示无穷小，用“”表示无穷大。已知两个无穷小之比或两个无穷大之比可能有各种不同的情况。因此计算都要根据函数的不同类型选用相应的方法，而洛比达法则给了我们计算的简便方法。都称为待定型，我们约定用“1”表示以1为极限的函数，则待定型还有五种：这

8、五种待定型皆可化为的待定型，即或=，，定理1：（洛比达法则1）若函数满足下列条件