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《经济数学第二章导数、微分和其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章导数、微分及其应用函数的导数、微分有着极其广泛的应用，本章介绍导数、微分的概念、计算方法及其应用，尤其侧重介绍在经济方面的应用.§2.1导数的概念及运算一、导数的定义（一）两个实例引例1产品总成本的变化率设某产品的总成本C是产量的函数，当产量由改变为时，总成本相应的改变量为，这时，称为产量由改变到时产品总成本的平均变化率．当时，如果极限 存在，则称此极限值为产量是时总成本的变化率，又称为边际成本．引例2求曲线在点(,)的切线的斜率.给自变量一个微小的改变量,如右图2.1, 让自变量从变化到+时，函数相应的改变量为 ,这时，曲线
2、上点(,)变到了点(+,)．从而曲线的割线的斜率为 ．割线的斜率是曲线在点(,)的切线的斜率的近似值．当时,割线的斜率的极限就是曲线在点(,)的切线的斜率，即．前两个引例虽然具体内容不同,但都是函数变化率的极限问题，解决问题的方法是相同的．我们抽象引出导数的定义.（二）导数的定义１．定义设函数在点的某一邻域内有定义,当自变量在处取得增量(点+仍在该邻域内)时,相应地函数取得增量，如果极限存在,则称函数在点处可导,并称此极限值为函数在点的导数.记为,或．如果不存在,则称函数在点处不可导．如果极限和都存在，其极限值分别称为函数在点处的左导数和右导数．
3、分别记为和．函数在点处可导的充分必要条件是函数在点处的左、右导数都存在且相等．如果函数在开区间内的每一点都可导，就称函数在开区间内可导．这时，对于开区间内的每一个值，都有的一个确定的导数值与之对应，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数的导函数，记作，．导函数的定义式为 ．显然，函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即 ．在不发生混淆的情况下，导函数也简称为导数．因此,引例中产品总成本的变化率是总成本Ｃ对产量的导数：；而曲线在点(,)处的切线的斜率是函数在点处的导数：．2. 一些基本初等函数的导数例1求常函数是常
4、数)的导数．解．例2求幂函数是自然数)的导数．解由二项式定理：更一般地,幂函数)的导数．常用的结论:．例3求正弦函数的导数．解故正弦函数的导数：．同理可得余弦函数的导数：．例4求指数函数的导数．解．令．即 ．特别地，当时，因 ，所以．例5求对数函数的导数．解 ．即 ．特别地，当时，因 ，所以有 ．3．导数公式由导数定义及有关求导法则可得基本初等函数的求导公式：4．导数的实际意义及应用（1）导数的几何意义如图2.2，曲线在处的导数就是曲线在(,)点的切线的斜率，即：．而表示曲线在该点的法线的斜率．从而，曲线在处的切线方程为：．曲线在处
5、的法线方程：．例6求在点P(e,1)处的切线方程和法线方程．解切线斜率,法线斜率,故在P(e,1)处的切线方程为:，即．在P(e,1)处的法线方程为:,即．（2）导数的经济意义在经济应用中，一个函数的导数表示该函数的边际函数，我们将在§2.5中详细讨论.（3）导数的物理意义设物体作变速直线运动的运动方程,那么物体在时刻的瞬时速度.二、可导与连续的关系定理１函数在某点可导则必连续．注意：反之不一定成立，即函数在某点连续则不一定可导．如图2.3，显然，在处连续，但，，故在处不可导．三、求导法则1.导数的四则运算法则定理２设在点处可导，则在点处也可导，
6、并且：特别地(k为常数);（3），其中．法则（1），法则（2）都可推广到有限个函数的情形.例7求函数下列函数的导数：．解．2.复合函数的求导法则定理３ 设函数是由复合而成的复合函数，是中间变量，若在点可导,且在对应的点可导（即存在）,则复合函数在点也可导，且．例8求下列函数的导数：解，则，则注意：复合函数的求导熟练后,不必写出中间变量,可以直接由外到里逐层求导．四、隐函数的导数形如的函数称为显函数．如:．形如这种没有解出因变量y，由方程所确定的函数称为隐函数．求隐函数的导数，可不化成显函数而直接求出其导数．隐函数的求导方法：在方程中，将看成的函数
7、，则的表达式看成的复合函数（这里是中间变量）．利用复合函数的求导法则，方程两边对求导，得到一个关于的方程；从中解出，即为隐函数的导数。例9求由方程确定的隐函数的导数解方程两边对求导，得 ，整理，得．例10求由方程所确定的隐函数在点处的导数．解 将方程两边对求导，得 ，即 ，解出得，．故 ．有时，需对所给的函数取对数化为隐函数后再求导，这种方法我们称为对数求导法．例11求幂指函数的导数．解方程两边取对数,得 ，方程两边对求导，得 ，整理，得．例12设，求．解方程两边取对数，得，方程两边对求导，得 ，整理，得．五、高阶导数一般地，函数的导数
8、仍然是的函数，如果的导数存在，则称这个导数为函数的二阶导数，记为；类似地，的二阶导数的导数称为的三阶导数，记为或；…，的阶导数的导数称为
