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1、第二章导数与微分一.填空题1.,则=_______.解.,假设,则,所以2.设,则______.解.,3.设函数y=y(x)由方程确定,则______.解.,所以4.已知f(－x)=－f(x),且,则______.解.由f(－x)=－f(x)得,所以所以5.设f(x)可导,则_______.解.=+=6.设,则k=________.解.,所以所以7.已知,则_______.6解.,所以.令x2=2,所以8.设f为可导函数,,则_______.解.9.设y=f(x)由方程所确定,则曲线y=f(x)在点(0,1
2、)处的法线方程为_______.解.上式二边求导.所以切线斜率.法线斜率为,法线方程为,即x－2y+2=0.二.单项选择题1.已知函数f(x)具有任意阶导数,且,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数是(a)(b)(c)(d)解.,假设=,所以=,按数学归纳法=对一切正整数成立.(a)是答案.2.设函数对任意x均满足f(1+x)=af(x),且b,其中a,b为非零常数,则(a)f(x)在x=1处不可导(b)f(x)在x=1处可导,且a(c)f(x)在x=1处可导,且b(d)f(x)在x=1处可导,且a
3、b解.在f(1+x)=af(x)中代入=,所以.(d)是答案注:因为没有假设可导,不能对于二边求导.3.设,则使存在的最高阶导数n为(a)0(b)1(c)2(d)36解..所以n=2,(c)是答案.4.设函数y=f(x)在点x0处可导,当自变量x由x0增加到x0+Dx时,记Dy为f(x)的增量,dy为f(x)的微分,等于(a)－1(b)0(c)1(d)¥解.由微分定义Dy=dy+o(Dx),所以.(b)是答案.5.设在x=0处可导,则(a)a=1,b=0(b)a=0,b为任意常数(c)a=0,b=0(d)a
4、=1,b为任意常数解.在x=0处可导一定在x=0处连续,所以,所以b=0.,,所以0=a.(c)是答案.三.计算题1.解.2.已知f(u)可导,解.=3.设y为x的函数是由方程确定的,求.6解.,所以4.已知,求.解.,5.设,求解.,6.设函数f(x)二阶可导,,且,求,.解.,所以=3.所以67.设曲线x=x(t),y=y(t)由方程组确定.求该曲线在t=1处的曲率.解..所以所以.所以.在t=1的曲率为四.已知当x£0时,f(x)有定义且二阶可导,问a,b,c为何值时二阶可导.解.F(x)连续,所以,
5、所以c=f(－0)=f(0);因为F(x)二阶可导,所以连续,所以b=,且存在,所以,所以,所以五.已知.解.6,k=0,1,2,…,k=0,1,2,…六.设,求.解.使用莱布尼兹高阶导数公式=所以七.已知解.两边对求导,6
