第二章导数与微分

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1、第二章导数与微分教学目标：1.理解导数和微分的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法.2.会求曲线在一点处的切线方程与法线方程.3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数求导方法，会求反函数的导数.4.熟练掌握隐函数求导法以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.5.理解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.6.理解函数微分的概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分.教学重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.教学难点求复合函数和隐函数

2、的导数的方法.§2.1导数概念一、两个实例15世纪文艺复兴后的欧洲，资本主义逐渐发展，采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、远洋航海、天象观测等大量实际问题，给数学提出了前所未有的接待解决的新课题，其中有两个实际问题导出了导数概念的产生.1.切线问题l先定义曲线的切线：割线的极限位置——切线位置.如图，如果割线绕点旋转而趋向极限位置，直线就称为曲线L在点处的切线.l提出并解决问题：已知曲线方程，要确定过曲线上点处的切线斜率.在曲线上取邻近于点的点，割线的倾角为，则其斜率为；可以认为当很小时，曲线上点的纵坐标来不及有很大变化，从而可用割线的斜率近似

3、代替切线的斜率，并且越小，近似程度越好.按照切线的定义，由于，切线的斜率为，上式中的是切线的倾角.l总结计算过程：先作割线，求出割线斜率；然后通过取极限，从割线过渡到切线，从而求得切线斜率.l说明：割线斜率表示的是平均变化率，切线斜率表示的是变化率，它反映的是因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度.1.速度问题l匀速：若物体作匀速直线运动，以表示经历的时间，表示所走过的路程，则运动的速度.l提出并解决问题：已知物体作变速运动，运动方程为，要求物体在时刻的瞬时速度.设物体从时刻运动到时刻，在这一时间内，物体运动的平均速度是当很小时，速度来不及有

4、较大变化，可把物体在间隔内的变速运动看作匀速运动，此时的速度即，并且越小，近似程度越好.现令，平均速度的极限自然就是物体在时刻运动的瞬时速度l总结计算过程：先在局部范围内求出平均速度；然后通过取极限，由平均速度过渡到瞬时速度.l说明：若物体作变速直线运动，其运动方程为，则在时刻到时刻（即在这一段时间间隔）的平均速度是运动的路程对运动的时间的平均变化率；而在的瞬时速度是运动的路程对运动的时间在时刻的变化率.显然，后者反映了运动的路程随运动的时间变化而变化，且在时刻变化的快慢程度.以上两个实际问题，其一是曲线的切线斜率，其二是运动的瞬时速度.这两个问题

5、实际意义虽然不同，一个是几何问题，一个是物理问题，但从数学上看，解决他们的方法却完全一样，都是计算同一类型的极限：函数的改变量与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于零时的极限，即对函数,要计算极限上式中，分母是自变量在点取得的改变量，要求；分子=是与相对应的函数的改变量.因此，若上述极限存在，这个极限是函数在点处的变化率，他描述了函数在点变化的快慢程度。在实际中，凡是考察一个变量随着另一个变量变化的变化率问题，都归结为计算上述类型的极限.正因为如此，上述极限表述了自然科学、工程技术、经济科学中很多不同质的现象在量方面的共性，正是这种共性的抽象而

6、引出函数的导数概念。二、导数概念1、函数在一点可导的定义对函数，若以Dx（0）记自变量x在点取得的改变量，而因变量相对应的改变量记作Dy：，则如下定义函数在点的导数.l定义2.1设函数在点的某邻域内有定义，若极限（2.1）存在,则称函数在点x0处可导,并称此极限值为函数在点x0的导数，记作，,或.按定义2.1所述，=（2.2）若记，则上式又可以写作：（2.3）l如果极限不存在,就说函数y=f(x)在点x0处不可导.如果不可导的原因是由于,也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.例1求函数在的导数.解用（2.2）式.在处，当自变量有改变量D

7、x时，函数相应的改变量则.用（2.3）式.当自变量由2改变到时，，相应的函数的改变量，则.2.左导数与右导数f(x)在的左导数：或f(x)在的右导数：或导数与左右导数的关系:Û.例2讨论函数在处是否可导.解按绝对值定义，这是分段函数，是其分段点（图2-3）.先考察函数在的左导数和右导数.由于，且，.虽然该函数在的左导数和右导数都存在，但，所以函数在处不可导.3.导函数如果函数f(x)在区间内的每一点可导,则称函数f(x)在该区间内可导，或称f(x)是区间内的可导函数.f(x)在闭区间[a,b]上可导，是指：函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且右

8、导数f¢+(a)和左导数f¢-(b)都存在.设函数f(x)在区间内可导，则对于每一个，都有f(x)的一个导数值与之对应，这