第二章 导数与微分

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1、第二章导数与微分案例引入微分学及其应用§2.1导数的概念§2.2函数的和、差、积、商的求导法则§2.3复合函数的求导法则§2.4隐函数、参数方程所确定的函数的导数§2.5初等函数的导数§2.6高阶导数§2.7函数的微分案例引入微分学引例：某人投资1万元，两年可得回报1.2万元，另一人也投资1万元，十年可得回报1.8万元，你认为哪一个投资者较聪明？从资金的改变量来说，前者为0.2万元，后者为0.8万元，似乎后者多些，但你需要知道多长时间才能挣到这笔钱吗？前者用了2年，即每年得0.1万元，后者用了10年，即每年得0.08万元，所以光知道资金的改变量是不够的，还要知道需要多长时间挣到这些钱，这

2、样才能帮助你作出决定如何投资。这实际上就是一个改变量问题，而导数就是反映变化率问题的一个概念，而且是反映函数随自变量瞬时变化率问题。下再举一个实际中的实例。灯泡照明问题：一个灯泡悬挂在半径为的圆桌正上方，桌上任一点受到的照度与光线的入射角的余弦值成正比（入射角光线与桌面的垂直直线之间的夹角），而与光源的距离平方成反比。欲使桌面的边缘得到最强的照度，灯泡应挂在桌面上方多高？要解决上述问题，就要用到微分学中的知识。再如我们在第一堂课中提到的人口增长模型问题，也要用到微分学中的知识。§2.1导数的概念一、导数的定义二、导数的几何意义三、函数的可导性与连续性的关系一、导数的定义变速直线运动的瞬时

3、速度设物体沿直线作变速运动，其规律为s=f(t),其中s表示位移，t表示时间.求物体在运动过程中某时刻t=t0的瞬时速度v(t0).即为t0到这段时间内的平均速度.容易看出，当越小时，平均速度将越接近瞬时速度，当无限趋近于零时，平均速度也将无限趋近瞬时速度.为此，瞬时速度定义为平均速度当时的极限，即平均速度称为位移s在t0到时间段内的平均变化率，而瞬时速度则称为位移s在时间t=t0的(瞬时)变化率.1、导数的定义定义设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域，记若存在，则称其极限值为y=f(x)在点x0处的导数，记为即导数定义与下面的形式等价：若y=f(x)在x=x0的导数存在，

4、则称y=f(x)在点x0处可导，反之称y=f(x)在x=x0不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.解例1解例2定义设y=f(x)在(a,b)内每个点都可导，则称y=f(x)在(a,b)内可导.若，则称显然，，即函数在x0的导数值等于其导函数在x0的函数值.为y=f(x)在(a,b)内的导函数，简称导数(注意，这里求极限时，x是固定不变的).导函数也可用，或，或来表示.解例3即解例4解例5从而有不难得到所以若取a=e，则有解例6左导数与右导数左导数:右导数:显然可以用下面的形式来定义左、右

5、导数定义：定理y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0的左、右导数存在且相等.由极限定理不难得到下面的结论：例7设讨论f(x)在x=0和x=1处的可导性.解所以y=f(x)在x=1不可导.所以y=f(x)在x=0可导，且二、导数的几何意义当自变量x从x0变化到时，曲线y=f(x)上的点由M0(x0,f(x0))变到此时为割线两端点M0，M的横坐标之差，而则为M0，M的纵坐标之差，所以即为过M0，M两点的割线的斜率.曲线y=f(x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近M0时的极限位置M0P，因而当时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.所以，导数

6、的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0))处的切线斜率.设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为(即法线平行y轴).例8求曲线在点处的切线方程和法线方程.解因为，从而M0点的切线斜率y－1=3(x－1),即y=3x－2.所以过点M0的切线方程为法线斜率三、可导性与连续性的关系可见，若y=f(x)在x=x0处可导，设f(x)在x=x0可导，即此时即有则由极限定理知则y=f(x)在x=x0处连续.反之，y=f(x)在x=x0处连续，则y=f(x)在x=x0处不一定可导.例9设f(x)=

7、x

8、，讨论f(x)在点x=0处的连续性与可导性.因此f(x)=

9、x

10、

11、在x=0连续，但因此f(x)=

12、x

13、在点x=0处不可导.解§2.2函数的和、差、积、商的求导法则§2.3复合函数的求导法则一、导数的四则运算法则二、复合函数的求导法则一、导数的四则运算法则定理设u=u(x),v=v(x)可导，则　　可导，且有证设自变量在x取得增量时，函数u，v分别取得增量于是此定理可以推广到有限个函数相加减的情况.例如，若u,v,w分别可导，则因此定理设u=u(x),v=v(x)可导，则　可导，且有证设自变量在x