02第二章 导数和微分

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1、第二章导数和微分一、导数的概念1．定义或．2．左导数和右导数（1）左导数：．（2）右导数：．（3）．3．导数的几何意义．曲线在点的切线和法线方程分别为①切线方程：．②法线方程：．4．可导与连续的关系可导一定连续，连续不一定可导．例1　已知在点处可导，利用导数定义确定下列各式中的系数：（1）；（2）；（3）．解（1）因为，所以．（2）因为，所以．（3）因为，且，所以．例2　设函数存在，且，求，．解由导数的定义知，．例3　讨论函数在处的可导性．解因为，，所以函数在处不可导．例4　设在处连续，且，求．解因

2、为在处连续，则，于是．例5　设且在处连续，求．解因为在处连续，则，于是．注由于在处连续，未必可导，这里只能用导数的定义求，而不能用求导法则．例6　设，求，并讨论的连续性与可导性．解，显然，在处连续并且可导．在点处，由，，，可知，当，即时，连续，从而，就在上连续．若在处可导，自然也就连续，由，，可知，当时，在处可导，此时．故当，时，在上连续并且可导．例7设在上有定义，，对任意的，恒有，求．解因为，令，有，即．又，上式两端同除以，得，当时，对上式取极限，得，两端积分，得．由可知，．故．二、隐函数和参数方

3、程所确定的函数的导数1．隐函数所确定的函数的导数求隐函数的导数时，采用的一般方法是：（1）遇到的函数就直接对求导；（2）遇到变量就直接写为；（3）遇到变量的函数，就先对变量的函数求导，再乘以．2．参数方程所确定的函数的导数设，则．3．对数求导法当函数由连乘、连除或乘方、开方、幂指函数表示时，通常是两边取自然对数后再求导，这种方法称为对数求导法．例8设，求．解两边同时对求导，得，解得．例9　设，求．解．例10　设，求．解两边同时取自然对数，得，两边同时对求导，得，所以．例11　设，其中为可导函数，求．

4、解两边同时取自然对数，得，两边同时对求导，得，所以．注上式可作为幂指函数的求导公式．三、高阶导数1．显函数的高阶导数求显函数的高阶导数，只要对函数连续求导即可．在求函数的阶导数时，不要随意地把求导结果化简，应尽量保持结果的原始状态，这样利于递推出函数的阶导数公式．2．隐函数所确定的函数的二阶导数求隐函数所确定的函数的二阶导数，首先是隐函数的两边对求导数，然后把得到的关于，，（是的函数）的方程再对求导数，此时，所得方程含有、，从中解出，并把第一次求导时得到的代入，便得隐函数所确定的函数的二阶导数．3．

5、参数方程所确定的函数的二阶导数由参数方程所确定的函数的二阶导数公式为．但在应用上式时，计算过程很烦琐，建议读者不用．通常的方法是由对求导得出。即．例12设函数二阶可导，求下列函数的二阶导数：（1）；（2）．解（1）令，则，．（2）令，则，．例13　求函数的阶导数．解因为依此类推．例14　求由所确定的函数的二阶导数．解两边同时对求导，得，整理，得，即．前式两边再对求导，得，把代入上式并整理，得．例15　设，求．解因为，所以．例16　设，求，．解因为，所以，．四、微分及其应用1．导数与微分的关系．由上式

6、不难看出，求函数的微分实质上等同于求函数的导数．这里的重点是微分公式在凑微分中的应用，也就是应正确理解微分形式不变性．2．微分的应用根据微分的定义，当较小时，可得函数增量的近似表达式．（1）由于，代入（1）得到近似公式．（2）两个近似公式可以相互推出，但它们在近似计算中的用法不同：（1）式用于计算函数在点处增量的近似值，（2）式用于计算函数在点附近的点处函数值的近似值．在公式（2）中，若令，并取，则．（3）上式用于计算函数在原点附近的点处函数值的近似值．由它可以推出近似计算中常用的近似公式：当较小时

7、，有（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．例17求的近似值．解设，则．取，．由于，，所以．例18下列函数值的近似值：（1）；（2）．解（1）．（2）．习题二1．已知为奇函数，，求．2．设，其中有二阶连续导数，且，（1）确定的值，使在处连续；（2）求．3．设，，求．4．设，求．5．设，求．6．求由所确定的函数的导数．7．已知，求．参考答案1．．2．（1）；（2）．3．．4．．5．．6．．7．．