第二章导数和微分答案解析

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1、技术资料第二章导数与微分一导数（一）导数的概念（见§2.1）Ⅰ内容要求（ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。（ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。Ⅱ基本题型（ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式1．用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程2．（6分）求在点处的切线方程及法线方程。解：，，所以切线方程为法线方程为3．（6分）求在点处的切线方程。解：，，切线方程

2、为，即（ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示4．填空题（每题4分）（1）若物体的温度与时间的函数关系为，则该物体的温度随时间的变化速度为（2）若某地区时刻的人口数为，则该地区人口变化速度为Ⅲ疑难题型（ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算5.讨论下列函数在处的连续性与可导性（1）（7分）知识共享技术资料解：在处连续但不可导（2）（7分）解：不存在，所以在处连续但不可导6．（8分）已知：，求解：=，（ⅱ）用导数定义解决的有关抽象函数的题型（自学）7．（7分）设，求．解：==+=8．（7分）对任取的，总有，且在处可导，求证：在上处处可导。解：，取即

3、在上处处可导。知识共享技术资料（二）初等函数求导（见A§2.2,§2.3）；（B§2.2）Ⅰ内容要求（ⅰ）记忆基本导数表，掌握四则求导法则及复合求导法则，了解反函数求导法则。（ⅱ）了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶及二阶导数的求法，自学求函数n阶导数的一般表达式。Ⅱ基本题型（ⅰ）初等函数一阶及二阶导数的计算题型9.求下列函数的一阶导数（每题4分）（1），（2）（3），（4）（5）（6）（7）（8），10.求下列函数在给定点处的函数值（每题6分）（1），求解：知识共享技术资料（2），求解：，（3），求解：，，（4），求解：11.求下列

4、函数的二阶导数（每题7分）（1），（2），（3），（4），（5）（6），，知识共享技术资料Ⅲ提高题型（ⅰ）有关抽象函数的求导问题12．（7分）设函数和可导，且，试求：解：13．（7分）设二阶可导，设，求解：=14．（7分）试从导出：解：（ⅱ）有关n阶导数的计算题型（自学）15.求下列函数n阶导数的一般表达式（每题7分）（1）（2），（3）（4）（5）（一）隐函数、参数方程所确定函数的求导问题及相关变化率问题（A见§2.4）；（B见§2.3）Ⅰ内容要求知识共享技术资料（ⅰ）掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数，并学会计算简单的二阶导

5、数。（ⅱ）学会对数求导法。*（ⅲ）学会解决一些简单实际问题中的相关变化率问题。Ⅱ基本题型（ⅰ）涉及隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数问题15.求由下列方程所确定的隐函数的导数：（1）（7分）解：，（2）（7分）解：，17．（7分）求曲线在点处的切线方程及法线方程。解：方程求导得：，，切线方程为,法线方程为18．（7分）设，求解：，=19．求下列参数方程所确定的函数的导数（1）（7分）解：，（2）（7分）知识共享技术资料解：，20．（7分）求曲线在点处的切线方程及法线方程。解：，，，切线方程为法线方程为Ⅲ综合应用题型（ⅰ）有关变化率及

6、*相关变化率的实际问题21．（8分）设质点的位移函数，其中和的单位为和，问：（1）何时质点达到的速度？（2）求时，质点运动的加速度。解：（1）（2）22．（8分）在一新陈代谢实验中葡萄糖的含量为，其中的单位为，求后葡萄糖量的变化率。解：23．（8分）在温度不变的条件下，压缩气体的体积与压强之间的关系为，求体积关于压强的变化率。解；*24．（8分）设一球状雪球正在融化，其体积以的速率减小，问雪球直径为时，直径的减小率为多少？知识共享技术资料解：*25．（8分）设12：00时甲船位于乙船西处，甲船以的速度向南航行，而乙船以的速度向北航行，

7、求16：00时两船距离的增加率。解：*26．（8分）一架巡逻直升机在距地面的高度以的常速沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为，并且此距离以的速率减少，试求出汽车行进的速度。解：，即Ⅳ提高题型（ⅰ）涉及隐函数和参数方程所确定函数的二阶导数题型27．（7分）设确定了，求解：，28．（7分）设，求解：，，29．（7分）设确定了，求知识共享技术资料解：（1），（2），代入公式得30．（7分）设由方程所确定，其中二阶可导，且，求解：，，31．（7分）设，且，求解：，，二微分（A见§

8、2.5）；（B见§2.4）Ⅰ内容要求知识共享技术资料（ⅰ）理解微分的概念，了解微分的概念中所包含的局部化线性思想。（ⅱ）了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。（ⅲ）自学微分在近似计算中的应用。Ⅱ基本题型（ⅰ）求函数