第二章__导数和微分[1]

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1、技术资料第二章导数与微分2.1导数的求法一基本概念一点的导数、左导数、右导数（单侧导数）、导函数（导数）、可微对导数的理解：导数就是函数在该点的变化率，导数的绝对值越大，函数值变化的越快，导数的绝对值越小，变化越慢，当导数为零时，曲线在该点的切线平行于轴．函数在点处的导数的几何意义是曲线上的点的切线的斜率，即，是切线与轴正向所成的夹角．1.导数：在点处的导数，记作或，表示为；2.左导数：在点处的左导数，记作，表示为；3.右导数：在点处的右导数，记作，表示为．4.可微：在的邻域有定义，若，其中是不依赖于的常数，则称在点可微．二基本结论1.

2、可导、可微和连续的关系：（i）可导和可微是等价的，即可导则可微，反之亦然；（ii）可导（可微）一定连续.2.可导的充要条件：左右导数都存在且相等，即知识共享技术资料存在．3.求导法则：函数和可导，则（1）；（2）；（3）．（4）4.求导公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）.三基本方法1.一点导数的求法：（1）公式法：用公式求出导函数，再求这点的导函数值（初等函数，具体函数）；（2）定义法：用定义求这点的导数（分段函数的分段点，抽

3、象函数）．例1设存在，求下列各极限：（1）；（2）；（3）；（4）．知识共享技术资料2.导函数的求法：（1）初等函数的导数（由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数）在对初等函数求导时，需要确定是四则运算还是复合运算．例2（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．（2）由参数方程确定函数的导数参数方程确定的函数的导数：一阶导数：；二阶导数：．例3已知，求；．解由于，，于是，例4已知，求；．解由于，，于是知识共享技术资料．对再次求导，得到．（3）隐函数的导数由方程所确定的隐函数（）的导数的求法：1.将方程两边对变量求导

4、，把看作是的函数，最后从方程中解出；2.转化为，我们有例5已知，求解（方法1）对方程两边求导，解得．（方法2）令，则，，所以．注：若求隐函数的二阶导数，只需在一阶导函数的基础上，再对自变量求导，把看作的函数，最后用代替，从而求得．（4）幂指函数的导数作恒等变换，例6.设，求．知识共享技术资料解．（5）多因子相乘除的导数：例7设，求．解取对数，于是所以．（6）变限积分函数的导数定理若连续，和可导，则变限积分函数可导，且有．其求导方法见第一章变限积分函数的导数．注：重点．（7）分段函数的导数基本方法：在开区间上用公式求导，在分段点上用定义求

5、导例8设，讨论函数的连续性，并求其导函数．解当时，，初等函数，有定义，连续．当时，，初等函数，有定义，连续．当时，，所以函数再点连续．综上所述，函数在上连续．当时，；当时，，初等函数，有定义，连续．而且知识共享技术资料；，所以有．注：在例7中，函数在点的右导数，实质就是的导数在的函数值，也就是说不必用定义求，只需将代入，（）；就得到．而函数在点的左导数就不能直接代入，这是由于右侧导函数，（），在点没有定义，所以只能用定义．例9，求．解当时，；当时，，所以．2.1练习知识共享技术资料1.求下列初等函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）

6、．2.求由下列方程确定函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）．3.求由参数方程确定函数的二阶导数：（1）；（2）．4.求幂指函数的导数：（1）；（2）．5.用取对数法求下列函数的导数：（1）；（2）；6.求下列分段函数的导数：（1）；（2）；7.设，求，并讨论的连续性；8.设，在连续且，求．（提示：求一点导数有两个方法，本题只能用定义法．为什么？）9.设，在连续，若在可导，求．（提示：一点导数存在的充要条件左右导数都存在且相等）10.设，求．知识共享技术资料11.设在定义域内处处可导，求的值（提示：建立两个等式，一是利用连续；二是可

7、导的充要条件）．12.已知，其中有二阶连续导数，且，（1）确定，使在连续；（2）求．13.设连续，且,，求，并讨论的连续性．2.2高阶导数的求法一基本概念高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数．阶导数：；注：高阶导数是在前一阶导函数基础上定义的，即对前阶导函数再一次对自变量求导．二基本结论1.莱布尼兹公式：2.阶导数公式：（1）；（2）；；（3）；（4）；知识共享技术资料（5）．注：上述公式是没有必要死记硬背的，我们只需知道这些函数：指数函数、三角函数（正弦和余弦）、幂函数、简单一次分式、简单对数函数有阶导数公式，在具体解题时，我

8、们可以推导．三基本方法1.逐次求导：低阶导数可以采用逐次求导方法．如等．2.用基本公式求导：把函数变形，表示为简单一次分式、或简单指数函数、简单对数函数和正弦函数、余弦函数的和与差的形式，再用求导公式．3.