§2-1 微分和导数

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1、37§2-1微分和导数第2章微分和微分法·导数的简单应用经典微积分大致分为微分学和积分学两大部分.微分学中两个最基本的概念就是函数的微分和导数，而求函数微分或导数的方法称为微分法.微分法是微分学中最基本的运算方法.§2-1微分和导数函数的微分和导数就像是一对儿“双胞胎”，是同时存在的，而且两者有密切的关系.自柯西以来，几乎所有的教科书中都是先讲导数，后讲微分.许多学生学完微积分后，熟悉导数却不熟悉微分.实际上，微分运算和导数运算是平行的，即每一个微分运算都对应于一个相当的导数运算，反过来也是如此.本书将把

2、函数的可微性作为起始概念，并同时导出函数的微分和导数这两个概念，以便能够体现出它们两者之间的“孪生兄弟”关系.1.从例子说起(函数局部线性化)假若函数随自变量的变化是均匀的，譬如函数.用表示自变量在点的增量，则函数的增量为(图2-1)Oy图2-2x显然，与自变量增量成正比，即函数增量是关于自变量增量的线性函数.ΔxOx0x0+Δx图2-1yx可是，另有些函数，例如函数(图2-2)在点(相应于自变量增量)的增量为显然，函数在点近旁的变化不是均匀的，即与不成正比.但是，能够被分离出一部分，它与成正比；而余下的

3、部分与相比较，当时，是高阶无穷小量，即.于是，函数在点的增量就可表示成我们将把“与成正比”或“关于为线性”的那一部分，称为函数在点的微分；而把比例系数称为函数在点的导数.与一次函数不同，函数在点的微分和导数都与点有关.不过，3737§2-1微分和导数两者的微分都是关于自变量增量的线性函数.2.可微·微分和导数一般情形下，设有函数定义在区间上.当自变量在点有增量(或)时，函数就会相应地有增量(图2-3)其中记号“”作为一个整体，将表示的函数.确切地说，应当把记成，而就像一个函数记号(是自变量).yOx0x0

4、+Δxx图2-3⑴自变量的增量称为自变量的微分，记成；⑵若有与无关的常数，使(2-1)其中则称函数在点为可微分；并称为函数在点的微分，记成或；其中关于是唯一的①，称它为函数在点的导数，记成或.因此，微分.①根据式（2-1），，于是.根据极限的基本性质1（见§1-5），所以关于是唯一的.注意，当把看成有限量时，微分是有限量；而在极限过程中，微分又是无穷小量.因此,为了能够满意地解释微积分中的一些记号和运算,我们把微分既看成有限量,又看成无穷小量.这就像物理学中关于光的“两象性”解释(“粒子说”和“波动说”)

5、一样.根据本节开始的讨论，一次函数和二次函数在任意点都可微分，且（微分）,（导数）;（微分）,（导数）.特别，对于常值函数，因为，所以，.3737§2-1微分和导数上述导数记号是后来的法国数学家拉格朗日(Lagrange,1736—1813)引用的，而莱布尼茨当初把函数在点的的导数记成.这样，按照莱布尼茨的说法，导数就是函数的微分除以自变量微分的商(简称微商)（*）可见，莱布尼茨当初把函数的微分作为起始概念，而导数是从属概念。.若函数在点可微分，根据式(2-1)，则有或即函数在点连续.这说明：函数连续是函

6、数可微分的必要条件；或者说，函数可微分是函数连续的充分条件.在以下的例子中，注意是自变量（而把暂时看成常量，就像上面的）.例1函数(为正整数)的可微性当自变量在任意点有一个无穷小增量时，函数在点的增量为[方括号内为]因此，根据定义[即式(2-1)]，函数在任意点可微分且微分为（其中）而函数在点的导数为.例2函数和的可微性对于任意点，设有增量，则函数的增量为其中，当时，根据定理1-1（因为是连续函数），则有又根据，则，于是有[与相差一个高阶无穷小量]因此，3737§2-1微分和导数即函数在任意点可微分，而且

7、，（微分），（导数）.同理，函数在任意点也可微分，而且（微分），（导数）.例3函数的可微性对于任意点，设有无穷小增量，则函数的增量为注意，其中是根据[见式（1-1）]因此，函数在任意点可微分，而且（微分），（导数）.例4函数的可微性对于任意点，设有无穷小增量，则函数的增量为注意，其中[见式（1-2）].因此，函数在任意点可微分，而且（微分），（导数）.为了简化微分和导数的记号，函数在点的微分就简记成，而导数就简记成或.于是，；.因为有时也把函数写成，所以有时也把微分和导数依次写成；可见，莱布尼茨所用的微分

8、记号和导数记号是非常巧妙的，即当把微分看成有限量时，微分和导数之间的转换，可以通过代数运算(乘或除)来完成.在上述关于导数的记号中，当把其中的看作常量时，导数是数，而把看作变量时，它是关于自变量的函数，有时称它为导函数.【注】牛顿当初把(以时间值为自变量的)函数的导数记成(他当时把变量称为“流数”，而把导数称为“流率”).在近代数学中,柯西又把函数的导数记成.3737§2-1微分和导数3.可导与可微的等价性当函数在点可微分时，