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《§2.4导数与微分的概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2.4导数与微分的概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代。而16世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，也推动了数学的发展。在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了17世纪下半叶微分学的产生。在整个数学发展史上自欧几里得几何学之后的最大的创造。1.求变速运动的瞬时速度问题；2.求曲线上
2、一点处的切线问题；3.求最大值和最小值问题。1.导数概念的引入2.导数的概念3.导数的几何意义4.可导与连续的关系5.函数的相对变化率-函数的弹性6.微分的定义这三类实际问题的现实原型在数学上都可以归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题。牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。首先考虑当时间变化到时,质点这段时间走过的路程是一、导数概念的引入质点运动一般是变速运动还是匀速运动？怎样描绘或怎样刻画这样的运动？1.求变速运动的瞬时速度问题用平
3、均速度代替瞬时速度合适吗？怎样才合适呢?设质点运动的路程为s,且s是时间t的函数s=s(t)。考虑在时的瞬时速度时,给时间t一个改变量，t当很小时,平均速率应与时刻的速率非常接近.由于质点速率的变化是连续的,当时,如果极限存在,这个极限就是在时刻的瞬时速率,即这段时间的平均速率为平面几何中圆的切线的定义:与圆只有一个交点的直线。推广到一般曲线上是不成立的.2.求曲线上一点处的切线问题。在17世纪，为了设计光学透镜和了解行星的运动方向，必须知道曲线的切线。一般曲线在某点切线的定义:在曲线L上，点M
4、为曲线上一个定点，在曲线上另取一个动点，作割线。当动点沿着曲线L移动而趋向于点M时,割线的极限位置MT为曲线L在定点M处的切线。如何定义曲线的切线呢?根据定义,求曲线切线的斜率.0xyTy=f(x)割线的斜率切线MT的斜率割线的极限位置是切线.割线斜率的极限就是切线的斜率.设成本函数C是产量q的函数C=C(q)。称为C(q)在点处的变化率,在经济分析中称为在点处的边际成本值.平均变化率成本的变化率3.求边际成本问题若在产量处产生一个改变量,那么成本函数的改变量与产量的改变量之比上面三个例子考虑的
5、问题都是:当自变量的改变量趋于零时,函数的改变量与自变量的改变量之比的极限.二、导数的概念1.函数在一点的导数定义设函数y=f(x)在点的邻域内有定义,当自变量x在点处取得改变量时,函数y取得相应的改变量若当时,两个改变量之比的极限存在,则称函数y=f(x)在点处可导,并称此极限值为函数y=f(x)在点处的导数,记为即由左、右极限的概念,可得左、右导数的定义.左导数右导数函数f(x)在点处可导的充要条件是在点处左、右导数都存在且相等.比值与导数的区别？函数在这段区间上的平均变化率.函数在一点处的
6、瞬时变化率—变化率.否则称函数f(x)在点处不可导。思考题函数y=f(x)在点处的导数是导函数在点处的函数值，即2.函数在区间上的导数则如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.这时,对于区间(a,b)内每一个x都有一个导数值与之相对应.那么也是x的一个函数,称其为函数y=f(x)在区间(a,b)内的导函数,简称为导数,记为函数y=f(x)在闭区间[a，b]上可导是指y=f(x)在(a,b)内处处可导,且在左端点a存在右导数,在右端点b存在左
7、导数.根据导数定义求导数,可归纳为三个步骤:1.当自变量x的改变量为时,求函数y=f(x)的相应改变量,即2.求两个改变量的比值3.求当时的极限,即解例1已知,求例2设y=c(常数函数),求y′。解(c)′=0例3设y=lnx,求y′.解例4设y=sinx,求y′.解利用导数定义可以证明:幂函数(n为正整数)的导数为指数函数的导数为特别地,对,有对数函数的导数为余弦函数y=cosx的导数为三、导数的几何意义函数y=f(x)在点处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率.于是,曲线y=f(x)
8、上点处的切线方程为若y=f(x)在处连续,而,则y=f(x)在点处的导数不存在,这时点处的切线方程为此切线垂直于x轴.例5求曲线在x=1处切线的斜率.解曲线在x=1处切线的斜率为e.例6求曲线在点(1,1)处的切线方程.解由例1知,y′=2x,于是曲线在点(1,1)处的切线方程为或四、可导与连续的关系定理若函数y=f(x)在点x处可导,则它在点x处一定连续.证明设函数y=f(x)在点x处可导,即由有极限变量与无穷小量的关系可知当时,为无穷小量.于是,有因而由函数在一点处连续的等价定义,函数y=f
