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《高等数学-第2章导数与微分§2.1导数的概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第2章导数与微分本章简介：（2，）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。§2.1导数的概念新课引入：⑶）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相刈于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。一、
2、变化率问题举例（15‘）1.平面曲线的切线斜率设曲线C的方程为y=/（x）,求曲线C在点M处切线的斜率.为此，需先明确曲线的切线的含义。如图2.1,设N是曲线C上与点M邻近的一点，连结点M和N的直线称为曲线C的割线，如果当点®沿着曲线C趋近于点M时，割线M/V绕着点M转动而趋近于极限位置则称直线MF为曲线C在点M处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长
3、MN
4、趋近于零，ZNMT也趋近于零。斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线的斜率不易直接求得，先求割线MN的斜率。如图2.2,设点M、N的坐标分别为（勺,儿）、（无
5、（）+心,％+△＞，）,割线MN的倾角为卩，切线的倾角为则割线MN的斜率为Ax_/(x0+Ar)-/(x0)一oAr显然，心越小，即点N沿曲线C越趋近于点M,割线MN的斜率越趋近于切线的斜率。当点N沿曲线C无限趋近于点M,即心一＞0时，若割线MV的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C在点M处切线的斜率，即tana-limtan(p-lim—AatOAa->0lim/(xo+Ar)-/(xo)山Ax2.变速直线运动的瞬时速度设物体作变速直线运动，运动方程即路程与时间的函数关系为5=S（t）,求物体在/（）时刻的瞬时速度v（r0）o若物
6、体作匀速运动，则物体在任一吋刻的运动速度为常量，且有经过的路程V=O所花的吋间当物体作变速运动时，先考虑从时刻％到r0+A/这段时间内，物体的运动速度问题。在吋间间隔卜0儿+&］内物体走过的路程为Ay=5（r0+Af）—冷0），比值-山5（r0+Ar）-5（r0）V=—=,AtAr称为物体在k）』o+△"内的平均速度。显然，&越小，歹就越趋近于*（心）。当&T0时，若平均速度y的极限存在，则此极限值就是物体在（0时刻的瞬时速度v（/0）,即山rM'o+d）一M'o）v（/n）=limv=hm——=lim。△・（）△—（）ArAr上面
7、两个变化率问题的实际意义尽管不同，但其解法是相同的，都是先求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），从而得到某点变化率的近似值，再通过取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）；计算式子也是相同的，都是要计算同一类型的极限：函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限，即lim怂=lim仝竺上血。心t（）Ar山toAx在自然科学和工程技术领域内，还有许多问题都可以归结为求这种极限，如加速度、电流强度、角速度，等等。我们撇开这种极限的具体意义，抓住其数学上的共性加以研究,就得出了导数的概念。二、导数的定义
8、（30，）1.导数的定义定义2.1设函数y=f（x）在点忑的某邻域内有定义，当自变量无在点兀（）有增量心（x0+Ax仍在该邻域内）时，函数有相应的增量Ay=/（x0+Ax）-/（x0）,如果Ay与Ax之比当心—0时的极限存在，则称函数y=/（x）在心点可导，并称这个极限值为y=于（兀）在X。点的导数（或变化率），记作广（兀0），即/U）/（兀+心）一/（兀）.（2.1）心T0心心T0A%也可记为V,強,如1。（注意：记住这些符号）fdx0dxIf函数/（兀）在点兀（）处可导有吋也说成/（%）在点兀（）具有导数或导数存在。如果极限（2
9、.1）不存在，就说函数/（x）在点处不可导，如果不可导的原因是由于心TO时，—^00,为了方便起见，也称函数/（兀）在点兀0处的导数为无穷大，记为广（兀0）=8。Ax如果函数=/（X）在内每一点都可导，则称y=/心）在内可导，这时，对于（Q,b）内的任意一点X,都有导数值广⑴与它对应，因此广&）是兀的函数，我们称广（0为J=/（X）的导函数，记作广（X）,即/3=］曲血型迪山toAx也可记为卩，芈或畔（定义到此才完成）dxax显然，函数y=/（x）在点X。的导数，就是导函数广（兀）在点X=X0处的函数值，即/U）=/,MX=XO»今
10、后，常把导函数广（X）简称为导数。在求导数时，若没有指明是求在某一定点的导数,都是指求导函数。1.求导数举例（这是按定义进行计算，以后求导按公式即可）根据导数的定义求y=/G)的导数，一般可分为下面三个步骤：(1)求函数的增量△，=/
