§2.1导数的概念08091

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1、重点导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式四则运算法则复合函数求导的链式法则高阶导数隐函数和参量函数求导难点导数的实质，用定义求导，链式法则第二章导数与微分基本要求①准确叙述导数定义并深刻理解它的实质②会用定义求导数③熟记求导基本公式④牢固掌握链式法则⑤掌握隐函数和参量函数求导法⑥理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法⑦弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用一阶微分的形式不变性一、问题的提出1.变速直线运动的瞬时速度问题§2.1导数的概念物体在时刻t0的瞬时速度定义为2.切线问题切线MT的斜率为:二、导数的定义定义:设函数y=f(x)在点x0的某邻

2、域内有定义,当自变量x在x0处取得增量x(点x0+x仍在该邻域内)时,相应地函数取得增量y=f(x0+x)–f(x0);如果当x→0时,y与x之比的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,此极限值称为函数y=f(x)在点x0处的导数,并记为f'(x0),即也可记作:导数的其它定义形式:若上述极限不存在,在点不可导.若也称在就说函数的导数为无穷大.★如果函数y=f(x)在开区间I内的每一点处都可导,就称函数y=f(x)在开区间I内可导.如果对任一xI,都对应着f(x)的一个确定的导数值f’(x),如此形成的函数f’(x)称为函数f(

3、x)的导函数.记作即或注意:导函数f’(x)简称为导数,而f’(x0)称为函数f(x)在点x0处的导数或导数f’(x)在点x0处的值.★单侧导数1.左导数:2.右导数:★函数y=f(x)在点x0处可导左导数f-’(x0)和右导数f+’(x0)都存在且相等.★如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,且f+’(a)和f-’(b)都存在,就说函数f(x)在闭区间[a,b]上可导.例1:讨论函数f(x)=

4、x

5、在x=0处的可导性.三、用定义求导数(三步法)步骤:例2:求函数f(x)=C(C为常数)的导数.例3:求函数y=sinx的导数和例4:求函数y=

6、xn的导数(n为正整数).例如，例5:求函数y=ax的导数(a>0,a1).例6:求函数y=logax的导数(a>0,a1).例7.设存在,求极限四、导数的几何意义f’(x0)表示曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率,即f’(x0)=tan(为倾角)率,并写出曲线在该点处的切线方程和法线方程.例8:求等边双曲线处的切线的斜五、可导与连续的关系定理:若函数f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0处连续.连续函数不一定可导举例2)若f(x)在x0点不连续，则f(x)在x0点必不可导。注意:1)定理的逆定理不成立,即连续函数不一

7、定可导.函数可导一定连续，但连续不一定可导例如0例9:讨论函数在x=0处的连续性与可导性.例10:设函数六、小结1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数;6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.2.f’(x0)=af-’(x0)=f+’(x0)=a.思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可

8、导,且5.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.备用题解:因为1.设存在,且求所以在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2.设故