2.1导数的概念

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1、第二章导数及其经济应用目标：1、理解导数的定义，及导数是函数的瞬时变化率的意义，并掌握导数的基本公式、四则运算法则、复合函数求导法则；2、能够计算边际成本、边际收益、边际需求等经济函数并解释其经济含义；3、能够解决经济中简单的最优化问题；4、理解弹性的概念，熟练掌握需求弹性的求法并解释其经济含义；5、了解高阶导数的概念，会求函数的二阶导数；6、理解微分概念，会用定义求函数的微分。2.1.1导数的定义2.1.2导数的计算§2.1导数的概念2.1.1导数的定义2.1.2导数的计算如图,取极限得引例2.1变速直线运动物体的瞬时速度问题.设物体沿直线运动，

2、其方程为s=s(t)（2.1）2.1.1导数的定义例如设C(Q)为产量Q时的总成本函数，当产量Q改变△Q时，总成本的改变量为引例2.2经济管理中，常涉及到经济函数的边际变化的问题。为产量由Q变为Q+△Q时，总成本的变化与产量的变化的比率，简称区间[Q,Q+△Q]上总成本的平均变化率。称当△Q→0时，若总成本的平均变化率的极限存在，即存在，则称此极限为总成本在产量为Q时的变化率，又称为产量为Q时的边际成本，它表示在产量为Q时每增加一个单位的产品所需增加的成本。（2.2）类似地，可用（2.2）式的极限形式定义收益函数对销量的变化率即边际收益，利润函数对

3、产销量的变化率即边际利润，需求函数对价格的变化率即边际需求等等。如图,N是曲线Ｃ上的一个动点，点N沿曲线无限接近点M时，割线MN的极限位置MT,就称为曲线C在点M处的切线.设平面曲线C的方程为，处切线的斜率.求C上点∆x∆y1∘求割线的斜率：2∘求割线斜率的极限得切线的斜率：引例2.3平面曲线的切线斜率（2.3）定义2.1（2.4）即在处的导数值等于的导函数在处的函数值。若函数在区间的每一点均可导，称　　在该区间　上可导。将(2.4)式中的换成变量，即得导函数的定义★2.1.2导数的计算二、导数的四则运算法则：（1）（2）（3）（4）（5）课堂练习

4、1求下列函数的导数三、复合函数的求导法则：即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.复合函数求导步骤：解1°引进中间变量,分解函数.2°应用法则3°回代解1°引进中间变量,分解函数.2°应用法则3°回代按复合的次序，由外向里，逐层求导,切忌漏层。注意：复合函数与四则运算混合时的求导问题应根据函数具体分析是先用复合求导公式还是先用四则运算公式。课堂练习2求下列函数的导数四、高阶导数的计算二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.课堂练习３1、求函数的二阶导数。2、求函数的n阶导数。作业P511-8定理：连续却不一定可导。注

5、意:该定理的逆定理不成立.2.1.3可导与连续的关系补充从图上看（1）函数在尖点处不可导；（2）若切线垂直于x轴，则切点处不可导。小结1、导数四则运算注意:2、基本初等函数求导公式是基本，要熟记。3、复合函数求导法则的思路：“由外向里，逐层求导，切忌漏层；在某一层遇到四则运算时，就用导数四则运算法则求导.”４、求高阶导数的思路：重复的使用求一阶导数的方法进行计算课外练习(一)课外练习(二)1.解在导数的定义中，记，则，即为，得到导数定义的又一形式：由题意所以2。解抛物线上两点为（1，1）和（3，9），则设抛物线上点（）处的切线平行于，则得，即过抛物

6、线上点（2，4）的切线平行于割线。