高等数学-第2章导数和微分§2.1导数的概念

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1、第2章导数与微分本章简介：（2′）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。§2.1导数的概念新课引入：（3′）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。一、变化率问题

2、举例（15′）1．平面曲线的切线斜率设曲线的方程为，求曲线在点处切线的斜率.为此，需先明确曲线的切线的含义。图2.1图2.2如图2.1，设是曲线上与点邻近的一点，连结点和的直线称为曲线的割线，如果当点沿着曲线趋近于点时，割线绕着点转动而趋近于极限位置，则称直线为曲线在点处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长趋近于零，也趋近于零。斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线的斜率不易直接求得，先求割线的斜率。如图2.2，设点、的坐标分别为、，割线的倾角为，切线的倾角为，则割线的斜率为。显然，越小，即点沿曲线越趋近于点，割线的斜率越趋近

3、于切线的斜率。当点沿曲线无限趋近于点，即时，若割线的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线在点处切线的斜率，即。2．变速直线运动的瞬时速度设物体作变速直线运动，运动方程即路程与时间的函数关系为，求物体在时刻的瞬时速度。若物体作匀速运动，则物体在任一时刻的运动速度为常量，且有。当物体作变速运动时，先考虑从时刻到这段时间内，物体的运动速度问题。在时间间隔内物体走过的路程为，比值，称为物体在内的平均速度。显然，越小，就越趋近于。当时，若平均速度的极限存在，则此极限值就是物体在时刻的瞬时速度，即。上面两个变化率问题的实际意义尽管不同，但其解法是相同的，都是先

4、求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），从而得到某点变化率的近似值，再通过取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）；计算式子也是相同的，都是要计算同一类型的极限：函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限，即。在自然科学和工程技术领域内，还有许多问题都可以归结为求这种极限，如加速度、电流强度、角速度，等等。我们撇开这种极限的具体意义，抓住其数学上的共性加以研究，就得出了导数的概念。二、导数的定义（30′）1．导数的定义定义2.1设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点有增量（仍在该邻域内）时，函数有相应的增量，

5、如果与之比当时的极限存在，则称函数在点可导，并称这个极限值为在点的导数（或变化率），记作，即.（2.1）也可记为，，。（注意：记住这些符号）函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在。如果极限（2.1）不存在，就说函数在点处不可导，如果不可导的原因是由于时，，为了方便起见，也称函数在点处的导数为无穷大，记为。如果函数在内每一点都可导，则称在内可导，这时，对于内的任意一点，都有导数值与它对应，因此是的函数，我们称为的导函数，记作，即。也可记为，或。（定义到此才完成）显然，函数在点的导数，就是导函数在点处的函数值，即。今后，常把导函数简称为导数。

6、在求导数时，若没有指明是求在某一定点的导数，都是指求导函数。2．求导数举例（这是按定义进行计算，以后求导按公式即可）根据导数的定义求的导数，一般可分为下面三个步骤：（1）求函数的增量；（2）求两增量的比值；（3）求极限.例1求函数（为常数）的导数。解（1）；（2）；（3）.即.这就是说，常数的导数等于零。例2求函数的导数。解（1）；（2）；（3）.即.对于一般的幂函数，有下面的求导公式：.例3求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）.解（1）；（2）；（3）.上例中两个函数的导数：，，今后常要用到，应熟记。例4求的导数。解（1）；（2）；（3）。

7、即.特别地，当时，得.例5求的导数。解（1）；（2）；（3）.即.同理可得.三、导数的实际意义举例（5′）两增量的比值是函数在区间内的平均变化率，而导数是函数在点的变化率，它反映了函数相对于自变量变化的快慢程度。在不同的领域内，它有着不同的意义、不同的解释。例6若运动物体路程与时间的函数关系为，则的导数即对的变化率就是物体在时刻的速度，即；若速度与时间的函数关系为，则的导数即对的变化率就是物体在时刻的加速度，即。简单来说，路程的导数是速度，速度的导数是加速度。例7电荷的定向移动形成电流，单位时间内通过导线横截面的电荷量称为电流强度，简称为电流。设

8、在时间段内通过导线横截面的电荷量为，则时间段内的平均电流强度为，而的导数，即对的变化率就是时刻的电流强度，即。例8当物体的温度高于周围介