导数和微分的概念

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1、一元函数微分学§1导数和微分的概念基本概念1.导数定义几种极限形式都要掌握函数在某点可导即上述极限存在，极限存在左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导，，导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。2.导函数,.f(x)在（a,b）可导,f(x)在[a,b]可导3.可导与连续的关系可导一定连续，但连续不一定可导（如函数在x=0点处连续，但是不可导）4.导数的几何意义切线方程：；法线方程：，5.微分的定义5/5微分的几何意义1.微分与导数的关系在x处可微在x处可导，且同时。§2导数与微分的计算基本概念1.基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页）2.导数（微分）四则运算公

2、式，，特别地，特别地。后面两个公式不要记错。3.复合函数的求导法则如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合4．高阶导数（计算同一阶导数）。5/5§3中值定理基本概念1.罗尔定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则至少存在一点，使得。罗尔定理的几何解释2.拉格朗日中值定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得，或。拉格朗日中值定理的几何解释罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形3.拉格朗日中值定理的推论1若函数在区间I上的导数恒为零，则在区间I上是一个常数。4.拉格朗日中值定理的推论2若函数，在区间I上每一点导数都相等，则这两

3、个函数在区间I上至多相差一个常数。§4导数的应用基本概念1.罗比达法则：若函数，满足5/5（1）；（2）在极限点附近，，都存在，且；（3）存在或为无穷大。则有。注（1）罗比达法则运用的条件：或型不定式；（2）每次使用看之前是否能够化简或等价无穷小代换；（3）只要符合罗比达法则条件，可多次使用。2.函数的单调性用函数的一阶导数的符号判定单调性3．极值的概念极值是局部性质4.极值存在的必要条件，驻点5.极值存在的充分条件第一充分条件（用一阶导数即单调性来判断是否是极值以及是极大值还是极小值）设函数在点的邻域内可导（可在点不可导，但连续），当时，，当时，，则函数在点处取得极大值；当时，，当时，

4、，则函数在点处取得极小值；当时，不变号，则在处不是极值。第二充分条件（用二阶导数来判断是否是极值以及是极大值还是极小值）5/5设函数在点处具有二阶导数，且，，则当时，函数在点处取得极大值；当时，函数在点处取得极小值。两个充分条件各有利弊，第一条件对函数的要求较低，结论直观上非常好理解，而第二条件对函数要求较高（二阶导数要存在），运用较方便。6.函数的最值最值是整体性质若在内可导，且点是在内唯一驻点，若是的极小（大）值点，则必是的最小（大）值点。此结论在实际中非常有用。7.函数的凹凸性及其判定，拐点若函数在区间I上，则在区间I上是凹的；若函数在区间I上，则在区间I上是凸的。用函数的二阶导数

5、的符号判定凹凸性，在连续曲线上，凹凸部分分界点称为曲线的拐点。8.曲线的渐近线垂直渐近线：当（或）时，有，称是曲线的垂直渐近线；水平渐近线：当（或）时，有，称是曲线的水平渐近线。5/5