偏导数和全微分的概念

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1、1.偏导数和全微分的概念一.偏导数设二元函数在区域有定义是的内点.若(常数),一元函数在可导,即极限存在,则称此极限是函数在关于的偏导数,表为类似若(常数),一元函数在可导,即极限存在,则称此极限是函数在关于的偏导数,表为若函数在区域任意都存在关于(关于)的偏导数,则称函数在区域存在关于(关于)的偏导数,也简称偏导数,表为一般情况下元函数在点关于的偏导数是极限由此可见,多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数,因此可按一元函数的求导法则和求导公式来求偏导数二.全微分对于一元函数，我们曾研究过关于的微分，它

2、具有两个特性，即;(i)它与自变量的改变量成比例，即，(ii)当自变量的改变量充分小时，它与函数的改变量之差是较自变量的改变量为更高阶的无穷小量,现在我们讨论多元函数情形，例如，对于二元函数，我们也从同样的思想出发，引进如下定义.全微分的定义若函数的全改变量可表示为且其中与，无关而仅与，有关，则称函数在点可微，并称为在点的全微分，记为或，即若在点可微，则有这就是说若在点可微，则存在且等于.完全一样地可以证明此时也存在且等于.故有定理若及在点及其一领域内存在，且在这一点它们都连续，则函数在该点可微.例4设，则有..例5写

3、出的全微分.三、高阶偏导数与高阶全微分类似于一元函数，可以定义高阶偏导数，就二元函数来说及仍是，的二元函数，还可以讨论它们关于或的偏导数，这些就称为函数的二阶偏导数.例如，关于再求偏导数，即就称为关于的二阶偏导数，记为或，也可记为.相仿地，还有二元函数的二阶偏导数一共有四个，其中和称为混合偏导数.同样，还可以定义更高阶的偏导数，如，或记为，或记为等等.例6设（1），（2）求二阶偏导数.定理若及在点都连续，则.定理若在点都连续，则