资源描述：
《ch 14 偏导数和全微分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Ch14偏导数和全微分计划课时：16时P144—1852005.06.06.Ch14偏导数和全微分(16时)§1偏导数和全微分的概念一、可微性与全微分：221．可微性：由一元函数引入.ο((Δx)+(Δy))亦可写为αΔx+βΔy,(Δx,Δy)→)0,0(时(α,β)→)0,0(.2．全微分:例1考查函数f(x,y)=xy在点(x,y)处的可微性.00二、偏导数:1．偏导数的定义、记法:2．偏导数的几何意义:3．求偏导数:例2,3,4.P143—144.2例5f(x,y)=(x+2x+)3sin(2y+
2、)1.求偏导数.2例6f(x,y)=xln(x+)1+y+1.求偏导数.x+y例7f(x,y)=.求偏导数,并求f,2(−)1.x22x+y2223x+y+2例8f(x,y)=xy+(x−)2ln.求f,2(y)和f)1,2(.22yy2y+x+12解f,2(y)=f′,2(y)=2(y)′=4y,yf)1,2(=f′,2(y)=4.yy=132⎧x+y22⎪,x+y≠,022例9f(x,y)=⎨x+y，证明函数f(x,y)在点)0,0(连续,并求⎪22⎩,0x+y=.0f)0,0(和f)0,0(.xyx
3、=ρcosθ,y=ρsinθρ2(ρcos3θ+sin2θ)证limf(x,y)===========lim=(x,y)→)0,0(ρ→0ρ32=limρ(ρcosθ+sinθ)=0=f)0,0(.f(x,y)在点)0,0(连续.ρ→03f(x)0,−f)0,0(xf)0,0(=lim=lim=0,xx→0xx→0x
4、x
5、2f,0(y)−f)0,0(yf)0,0(=lim=lim不存在.yy→0yy→0y
6、y
7、ExP153—1541—8.三、可微条件:1．必要条件:Th1设(x,y)为函数f(x,y)定义
8、域的内点.f(x,y)在点(x,y)可微,⇒0000f(x,y)和f(x,y)存在,且x00y00df=df(x,y)=f(x,y)Δx+f(x,y)Δy.(证)(x0,y0)00x00y00由于Δx=dx,Δy=dy,微分记为df(x,y)=f(x,y)dx+f(x,y)dy.00x00y00定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件,但不充分.例10考查函数⎧xy22,x+y≠,0⎪22f(x,y)=⎨x+y，在原点的可微性.⎪22⎩,0x+y=02．充分条件:Th2若函数z
9、=f(x,y)的偏导数在的某邻域内存在,且f和f在点(x,y)处连续.xy00则函数f在点(x,y)可微.(证)00Th3若f(x,y)在点(x,y)处连续,f(x,y)点(x,y)存在,则函数f在点y00x00(x,y)可微.00证f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=0000=[]f(x+Δx,y+Δy)−f(x+Δx,y)+[f(x+Δx,y)−f(x,y)]00000000215=f(x+Δx,y+θΔy)Δy+f(x,y)Δx+αΔx0<θ<1,α→0y00x00=[fy(x0,y0)+β]Δ
10、y+fx(x0,y0)Δx+αΔx=β→0=f(x,y)Δx+f(x,y)Δy+αΔx+βΔy.x00y00即f在点(x,y)可微.00要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件.⎧22122(x+y)sin,x+y≠,0⎪22例11f(x,y)=⎨x+y⎪22⎩,0x+y=.0验证函数f(x,y)在点)0,0(可微,但f和f在点)0,0(处不连续.xyf(x,y)221证=x+ysin→,0(x,y)→0,0().ρx2+y2因此f(x,y)=ο(ρ),即f(x,y)−f)0,0(=0Δx+0Δy+ο
11、(ρ),f在点)0,0(可微,f)0,0(=,0f)0,0(=0.但(x,y)≠)0,0(时,有xy1x1f(x,y)=2xsin−cos,x222222x+yx+yx+yxx沿方向y=kx,lim=lim不存在,⇒沿方向y=kx,极限x→022x→02x+y
12、x
13、1+kx11limcos不存在;又(x,y)→)0,0(时,2xsin→0,x→0222222x+yx+yx+y因此,limfx(x,y)不存在,fx在点)0,0(处不连续.由f关于x和y对称,fy(x,y)→)0,0(也在点)0,0(处不连续
14、.四、中值定理:Th4设函数f在点(x,y)的某邻域内存在偏导数.若(x,y)属于该邻域,则存在00ξ=x+θ(x−x)和η=y+θ(y−y),0<θ<0,1<θ<1,使得01002012f(x,y)−f(x,y)=f(ξ,y)(x−x)+f(x,η)(y−y).00x0y00例12设在区域D内f=f=0.证明在D内f(x)≡c.xy五、连续、偏导数存在及可微之间的关系：六、可微性的几何意义与应用：2161．可微性的几何意义：
