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1、§2.1导数的概念在许多实际问题中,需要从数量上研究变量的变化速度.如物体的运动速度,电流强度,线密度,比热,化学反应速度,生物繁殖率,边际效益及边际成本等,所有这些问题在数学上都可归结为函数的变化率问题,即导数的概念.本章将通过对实际问题的分析,引出微分学中两个最重要的基本概念——导数与微分,然后再建立求导数与微分的运算公式和法则,从而解决有关变化率的计算问题.一、问题的提出1.变速直线运动的瞬时速度问题求自由落体运动在t0时刻的瞬时速度.当t→t0时的极限即为t0时刻的瞬时速度:取邻近于t0的某时刻t,运动时间为t,在t时间段内的位移为
2、s,其平均速度为:§2.1导数的概念上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用.设物体作变速直线运动,其位移函数为s=s(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度定义为速度反映了路程对时间变化的快慢程度.2.切线问题割线的极限位置——切线设M为曲线C上的一点,再在曲线C上任取一点N,当N沿曲线C趋向于M时,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,则直线MT就称为曲线C在点M处的切线.设曲线C的方程为y=f(x),且M(x0,y0),N(x,y).则割线MN的斜率为由切线的定义知:切线MT的斜率为:如果令x=x–x0,则上式为:二、导数的定义定义
3、:设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量x(点x0+x仍在该邻域内)时,相应地函数取得增量y=f(x0+x)–f(x0);如果当x→0时,y与x之比的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,此极限值称为函数y=f(x)在点x0处的导数,并记为f(x0),即也可记作:导数的其它定义形式:★如果函数y=f(x)在开区间I内的每一点处都可导,就称函数y=f(x)在开区间I内可导.如果对任一xI,都对应着f(x)的一个确定的导数值f(x),如此形成的函数f(x)称为函数f(x)的导函数.记作即或
4、在以上两式中虽然x可以取区间I内的任意数值,但在极限过程中,x是常数,而x和h是变量.显然导数f’(x0)就是导函数f’(x)在点x0处的函数值.即函数f(x)在点x0处的导函数f(x)简称为导数,而f(x0)称为函数f(x)在点x0处的导数或导数f(x)在点x0处的值.★单侧导数1.左导数:2.右导数:★函数y=f(x)在点x0处可导左导数f–(x0)和右导数f+(x0)都存在且相等.★如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,且f+(a)和f–(b)都存在,就说函数f(x)在闭区间[a,b]上可导.★设函数讨论f(x)在
5、点x0处的可导性.且f–(x0)=f+(x0)=a,则f(x)在点x0处的可导,且f(x0)=a.三、用定义求导数(三步法)步骤:例1:求函数f(x)=C(C为常数)的导数.解:即解:例2:求函数y=sinx的导数和类似可得:即例3:求函数y=xn的导数(n为正整数).解:即更一般地解:特别地例4:求函数y=ax的导数(a>0,a1).例如,即例5:求函数y=logax的导数(a>0,a1).解:特别地即例6:讨论函数f(x)=
6、x
7、在x=0处的可导性.解:四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义f(x0)表示曲线y=f(x)在点M(
8、x0,f(x0))处的切线的斜率,即f(x0)=tan(为倾角)当f(x0)0且有限时,过点M(x0,f(x0))处的切线方程为:法线方程为y–y0=f(x0)(x–x0).切线方程为:y=f(x0)法线方程为:x=x0当f(x0)=0时当f(x0)=时切线方程为:x=x0法线方程为:y=f(x0)率,并写出曲线在该点处的切线方程和法线方程.例7:求等边双曲线处的切线的斜解:由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为:法线方程为:即4x+y–4=0.即2x–8y+15=0.2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路
9、程对时间的导数为物体的瞬时速度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.五、可导与连续的关系证:函数f(x)在点x0处可导,则必有:定理:若函数f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0处连续.即其中故所以从而,函数f(x)在点x0处连续.注意:该定理的逆命题不成立.连续函数不存在导数举例例如,1.若函数f(x)在点x0处连续,且f–(x0)和f+(x0)均存在,但f–(x0)f+(x0),则称点x0为f(x)的角点.由于,f–(0)=0,f+(0)=1.故f(x)
10、在点x=0处不可导,x=0为f(x)的角点.例如,2.若函数f(x)在点x0处连续,但f(x0)=(不可导),则称f(x)在点x0处
