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1、高等数学(经管类)多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）8/4/20211第一节导数概念第二章三、导数的几何意义二、导数的定义一、引例五、可导与连续的关系五、小结与思考题（TheConceptofDerivative）四、单侧导数8/4/20212例1.瞬时速度问题求:质点在时刻的瞬时速度设有一质点作变速直线运动,其运动方程为一.导数问题举例8/4/20213时刻瞬时速度变化不大,所以质点在在Δt时间内速度2.若质点作变速直线运动1.若质点作匀速直线运动s0由于速度是连续变化的,
2、可以近似地用平均速度代替瞬时速度分析：8/4/20214于是当时,的极限即为越小,近似的程度越好8/4/20215称为曲线L上点P处的切线例2:曲线的切线斜率切线的一般定义:设P是曲线L上的一个定点,Q是曲线L上的另一个点,过点P与点Q作一条直线PQ,称PQ为曲线L的割线,当点Q沿着曲线L趋向定点P时,割线PQ的极限位置PTLPQT8/4/20216设曲线L的方程为y=f(x),越接近于k,Δx越小,Q越接近于P,PQ越接近于PT,切线的倾角为α,则有:分析:如图,割线的倾角为θ,求此曲线上点P处
3、的切线斜率k.LPQT8/4/20217曲线在P处的切线斜率为:当自变量的增量趋于0时的极限.即:函数的增量与自变量增量之比,8/4/20218二、导数的定义（DefinitionofDerivatives）1.函数在一点的导数与导函数.定义1设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.即8/4/20219若上述极限不存在,在点不可导.若也称在就说函数的导数为无穷大.8/4/202110例.求函数在x=1处的导数.解由导数定义有8/4/202111在点
4、的某个右邻域内若极限则称此极限值为在处的右导数,记作(左)(左)定义2设函数有定义,存在,2.单侧导数.在点可导的充分必要条件注1：函数且是注2：若函数与在开区间内可导,且都存在,则称在闭区间上可导.8/4/202112在x=0不可导.例证明函数证:因此，函数在x=0不可导.一般地，如果函数的图形在某点出现“尖角”，那么在该点就没有切线，从而函数在该点不可导.8/4/202113若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就称函数在I内可导.二.导函数8/4/202
5、1148/4/202115三、导数的几何意义（GeometricInterpretation）曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:8/4/202116解法线斜率为8/4/202117五、函数的可导性与连续性的关系定理证:设在点x处可导,存在,故即所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.8/4/202118解(1)因为8/4/202119(2)因为有又8/4/20212
6、0内容小结1.本节通过两个引例抽象出导数的定义：8/4/2021212.利用导数的定义得出以下导数公式：3.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.4.导数的几何意义:切线的斜率;5.函数的可导性与连续性的关系：可导必连续,但连续不一定可导。8/4/202122课后练习习题2-11；4；5；6;思考与练习1.函数在某点处的导数有什么区别与联系?与导函数区别:是函数,是数值;联系:注意:？8/4/2021233.已知则存在,则2.设4.设存在,求极限解:原式8/4/2
7、02124,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.5.设8/4/202125解:因为存在,且求所以6.设8/4/202126在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.故7.设8/4/202127
