§2.5函数的微分08091

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1、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.§2.5函数的微分再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?一、微分的定义定义:设函数y=f(x)在某区间I内有定义,x0及x0+x在区间I内,如果存在与x无关的常数A,使得y=f(x0+x)–f(x0)=A·x+o(x)成立,则称函数y=f(x)在点x0处可微,并且称A·x为函数y=f(x)在点x0处相应于自变量增量x的微分,记作dy,即dy=A·x.微分dy叫作函数增量y的线性主部—微分的实质.由定义知:(1)dy是自变

2、量的改变量x的线性函数;(2)当时，y–dy=o(x)是x的高阶无穷小;(3)当A0时,当时，y与dy是等价无穷小;实际上(4)A是与x无关的常数,但与f(x0)和x0有关;(5)当

3、x

4、很小时,ydy=A·x(线性主部).二、可微的条件定理:函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0处可导,且dy=f(x0)·x.定理表明:可导可微,且f(x0)=A.在f(x0)0的条件下,当x→0时,y～dy,且y–dy既是x的高阶无穷小,又是dy的高阶无穷小.因此dy也是y的主要部分.由于自变量对自己的导数等于1

5、,所以通常把自变量的增量x称为自变量的微分,记作dx,即dx=x.所以,dy=f(x)dx.从而即函数的微分dy与自变量的微分dx之商就等于该函数的导数,因此导数也叫做“微商”.三、微分的几何意义MT)PN则y是曲线C上关于点M的纵坐标的增量,当

6、x

7、很小时,在点M的附近用切线的增量近似代替曲线的增量.设曲线C的方程为y=f(x),曲线C上的点M处有切线.M点处的切线对应点M的纵坐标的增量.而dy是曲线C在四、微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则3.复合函数的微分法则结论:无论x是自

8、变量还是中间变量,函数y=f(x)的微分形式总有:一阶微分形式的不变性例3:例4:例5:例6:例1:例2:1.函数的近似计算（3）计算附近的函数值（2）计算增量的函数值即(4)在(3)式中取,且x接近0,于是得五、微分在近似计算中的应用（1）计算增量使用原则:应用(4)式可得以下公式(下面都假定是较小的数值)举例例计算的近似值六、小结★微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题导数的概念函数的增量问题微分的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.★导数与微分的联系:可导可微1.函数f(x)在点x0处的导数是一个数值f(x0);而函数f(x)在点x0处的微分dy=f

9、(x0)·x=f(x0)·(x–x0)是x或x的一个线性函数.2.从几何意义上看,导数f(x0)是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处切线的斜率;而微分dy=f(x0)·x是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处切线上纵坐标的增量.★导数与微分的区别:思考与练习1.设求解:利用一阶微分形式不变性,有2.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:3.6.设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求7.已知求已知求8.思考题因为一元函数y=f(x)在点x0的可微性与可导性是等价的,所以有人说“微分就是导数,导数就是微分”,这种说法对吗？思考题

10、解答说法不对.从概念上讲,微分是从求函数增量引出线性主部而得到的,导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限,它们是完全不同的概念.