§2复合函数微分法

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1、§2复合函数微分法教学目的与要求：1)掌握复合函数求导的链式法则；2)理解一阶全微分形式不变性．教学重点：1)复合函数求导的链式法则；2)一阶全微分形式不变性．教学难点：复合函数求导的链式法则的证明．教学内容：　　设函数　　　　　　　　　　　　与　　　　　　　　　　　　　　定义在平面的区域上，函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　定义在平面的区域上，且　　　　　　　　　则函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　是以为外函数，为内函数的复合函数．其中称为函数的中间变量，为函

2、数的自变量．一　复合函数的求导法则　　定理17．5　若函数在点可微，在点可微，则复合函数在点可微，且它关于与的偏导数分别为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证　由假设，在点可微，于是　　其中当趋于零时，都趋向于零．又由在点可微，所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　其中当时，（我们补充之定义使当时，）将代入，得　　　　　　　　整理后　　　　　　　　　　　　　　　其中　　　　　　　　　　　　　　　由于在点可微，因此它们在点都连续，即当时，有．从而也有，以及于是在式中，当，有．故由式推得复合

3、函数可微并求得关于和的偏导数．　　这里公式也称为链式法则．该定理的函数结构图为我们可以借助函数结构图，直接写出公式（4），例如到的链有两条，即为两项之和，表示，表示，因此．注意　如果只是求复合函数关于或的偏导数，则定理17．5中和只须具有关于或的偏导数就够了．因为以或除式两边，然后让或，也能得到相应的结果．但是对外函数的可微性假设是不能省略的，否则上述复合函数求导公式不一定成立．如函数　　　　　　　　　　　　由§1习题6知，但在不可微，若以为外函数，为内函数，则得以为自变量的复合函数　　　　　　　　　　

4、所以．这时若用链式法则，将得出错误结果：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　这个例子说明在使用复合函数求导公式时，必须注意外函数可微这一重要条件．　　公式（4）可以推广到中间变量或自变量多于两个的情形．例如，设，，在点处都具有偏导数，而函数在对应点可微，则复合函数在点处具有偏导数，且，．一般地，若在点可微，在点具有关于的偏导数，则复合函数　　　　　　关于自变量的偏导数是　　　　　　　　　　　注：几种特殊情形1）设函数，在点处可导，函数在对应点处可微，则复合函数在点处可导，并且有．证给以增量，相

5、应地有增量和，从而函数有增量．因为函数在点可微，故有，其中，是当时较高阶的无穷小量．上式两端同时除以，得，因为函数，在点处可导，故它们必在点处连续，从而当时有，．注意到因为当时有，，故有，从而，再由，在点处可导，故当时有，，，从而有界，所以，于是有即．该定理的函数结构图是v从函数结构图中可以看到：一方面，从引出两个箭头指向中间变量、，表示是、的函数，同理和都是的函数；另一方面，由出发通过中间变量到达的链有两条，这表示对的导数是两项之和，而每条链由两个箭头组成，表示每项由两个导数相乘而得，例如表示，表示，

6、因此．注意这里和都是的一元函数，，对的导数用记号，表示，是，的二元函数，其对应的导数是偏导数，用记号，表示，函数经过复合之后，最终是的一元函数，故对的导数用记号表示，称为全导数，公式称为全导数公式．2）设函数在点处可导，在点处存在偏导数，而在对应点处可微，则复合函数在点处存在偏导数，且有，．此定理的函数结构图为3设具有连续偏导数，而具有偏导数，则复合函数在点处存在偏导数，且有，．该定理的函数结构图为为了避免混淆，公式右端的换成了，要注意和是不同的，是把中的及看成不变而对求偏导数，是把复合函数中的看成不变

7、而对求偏导数．　　例1　设，而求　　解　所讨论的复合函数以为自变量，为中间变量，由于　根据公式（4）得到　　　例2　设可微，在极坐标变换下，证明　　证　可以看作的复合函数，因此　　　　　　　　　　　　　　　于是　　　　　　　　　例3　设，其中，求　　解　这里把看作中间变量，复合后仅是自变量的一元函数．于是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例4　用多元复合微分法计算下列一元函数的导数：　　　　　　　　　　　　解　令则有　　　　　　　　　　　　　令则有　　　　　　　　　　　　　　=　由此可见

8、，以前用“对数求导法”求一元函数的导数问题，如今也可用多元函数链式法则来计算．二　复合函数的全微分　　若以和为自变量的函数可微，则其全微分为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　如果作为中间变量又是自变量的可微函数　　　　　　　　　　　　　则由定理17．5知道，复合函数是可微的，其全微分为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12）由于又是的可微函数，因此同时有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　将（13）